Propositio 84^a

338 Sicut columna triangula centralis cum quadrati et trianguli collateralium primi generis aggregato coniuncta, triplum conficit³⁵¹ suae pyramidis. 339 Ita etiam sequentium columnarum cen[C:49v]tralium tam quadrata cum dicto aggregato³⁵² et uno triangulo praecedenti; quam pentagona cum eodem aggregato et duplo trianguli praecedentis; quam hexagona cum tali aggregato et triplo trianguli praecedentis; quam septangula cum ipsomet aggregato et quadruplo trianguli praecedentis; quamque³⁵³ octangula cum eo ipso aggregato et quincuplo trianguli praecedentis coniuncta, triplum efficit suae pyramidis.

340 Sumpto columnae centrales collaterales a quidem triangula, ipsa³⁵⁴ b quadrata, ipsa c pentagona, ipsa d hexagona, ipsa e septangula et ipsa f octangula. Item g quadratus et h triangulus eiusdem loci, hoc est, collaterales ipsarum columnarum et ex primo³⁵⁵ genere. 341 Item k³⁵⁶ triangulus eiusdem generis praecedentis loci; et ex alia parte sunto pyramides centrales columnis dictis collaterales: ipsa quidem l triangula, ipsa m quadrata, ipsa n pentagona, ipsa o³⁵⁷ hexagona, ipsa p septangula, ipsaque q octangula; quibus dispositis, ostendendum est quod, sicut per septuagesimam nonam huius, aggregatum ex agh triplum est ipsius l, ita et aggregatum [S:44] ex bgh et k triplum erit ipsius m nec non [C:50r] aggregatum ex cgh duploque ipsius k triplum ipsius n³⁵⁸; itemque aggregatum ex dgh triploque ipsius k triplum ipsius o; adhuc aggregatum³⁵⁹ ex egh et quadruplato k triplum ad p et tandem aggregatum ex fgh et quincuplicato k triplum ad ipsam³⁶⁰ q, hoc pacto. 342 Sit columna triangula primi generis praecedens³⁶¹, hoc est collateralis ipsi k triangulo signata per r; pyramis autem [centralis³⁶²] praecedens, hoc est, collateralis columnae r ac triangulo k esto notata³⁶³ per s; cumque aggregatum ex agh triplum sit ipsius l , per septuagesimam nonam praemissam, ostendam quod, aggregatum ex bgh et k triplum est ipsius m. 343 Nam, per corollarium septuagesimae sextae huius, ipsa b addit super a ipsam r et ipsum k. Et ideo aggregatum bghk addit super aggregatum agh ipsam r et duplum ipsius k. Item ipsa m super l, per corollarium septuagesimae quartae, addit ipsam s. Triplum est autem additamentum additamenti, hoc est, ipsum r cum duplo ipsius k, triplum³⁶⁴ est ipsius s per quinquagesimam huius. 344 Igitur per primam quinti Euclidis, aggregatum ex bgh et k triplum erit ipsius m, quod fuit ostendendum. Et quoniam c addit super b ipsam r et alium k per corollarium septuagesimae sextae huius, et n super m addit rursus ipsam s per corollarium septuagesimae quartae³⁶⁵; similiter penitus et eodem processu ostendam, quod aggregatum [C:50v] cgh cum duplo ipsius k triplum est ipsius n. 345 Nec non, quod aggregatum dgh cum triplo³⁶⁶ ipsius k triplum est ipsius o. Adhuc quod aggregatum egh cum quadruplo ipsius k triplum est ipsius p et demum, quod aggregatum fgh cum quincuplo ipsius k triplum est ipsius q, sicut demonstrandum proponitur.

Corollarium

346 Et eodem cremento procederemus, si ultra octangulam columnam ac pyramidem confingeremus formas sequentes, scilicet enneagonam³⁶⁷, et decagonam, et reliquas deinceps. Sed ne curiositas modum excedat, satis sit nobis hucusque progressi³⁶⁸; et protinus de regularibus solidis disserere incipiamus, ne quid in hac speculatione intactum relinquatur.

col.         pyr. a g h l b g h K m c g h K K n d g h K K K o e g h K K K K p f g h K K K K K q         r. s.

Exemplum pro loco 5o col. 5.  5.  5.  4. pyr. 5. 125 25 15 65 205 25 15 10 85 255 25 15 20 105 305 25 15 30 125 355 25 15 40 145 405 25 15 50 165

40 20 col. pyr.  4a