Propositio 65^a235

247 Omnis²³⁶ columna hexagona tetragonica cum duplo collateralis quadrati, et cum praecedenti triangulo sumpta, valet triplum suae pyramidis hexagonae.

Exempli gratia²³⁷, columna tetragonica hexagona quinta 225 cum duplo quinti quadrati 25 scilicet cum 50 et cum triangulo quarto²³⁸ 10 consumat simul 285, quod dico triplum esse pyramidis tetragonicae hexagonae quintae 95, et sic argumentor. 248 Columna hexagona tetragonica quinta aequalis est per quadragesimam quartam²³⁹ columnae pentagonae quintae, columnae triangulae quartae et triangulo quarto simul sumptis; quibus appono duos quadratos quintos, et triangulum quartum. Atque ita demonstrandum erit quod id totum aggregatum ex columna pentagona quinta, columna triangula quarta, duobus quadratis quintis, et totidem triangulis quartis simul, triplum est pyramidis hexagonae quintae tetragonicae. 249 Sed talis pyramis hexagona quinta, per trigesimam septimam conflatur ex combinatione duarum pyramidum²⁴⁰, scilicet pentagonae quintae, et triangulae quartae²⁴¹. Quare ostendendum est quod supra dictum aggregatum est triplum huius combinationis; quod constabit sic. 250 Una pars illius aggregati, [S:30] scilicet columna [C:37v] pentagona quinta cum duobus quadratis quintis, per praecedentem, aequivalet triplum²⁴² pyramidis pentagonae quintae, quae fuit una pars combinationis; et similiter reliqua pars aggregati, scilicet columna triangula quarta cum duobus triangulis quartis simul, per quinquagesimam huius, triplum valet pyramidis triangulae quartae, quod est residuum combinationis. 251 Quamobrem, quoniam duae partes²⁴³ aggregati, duabus partibus combinationis, singulae singulis triplae sunt, propterea, per primam quinti Elementorum, et totum aggregatum totius combinationis triplum valebit; quod fuit demonstrandum. Et eodem syllogismo pro quo vis alio assignato loco utemur ad roborationem propositi.

Corollarium

252 Et pro duplo quadrati collateralis ac praecedenti triangulo, substituere potes hexagonum et triangulum²⁴⁴ collaterales: quoniam sunt tantundem.

Nam, per undecimam huius, quadratus quintus valet duos triangulos, quintum et quartum. 253 Quare duo quadrati quinti cum triangulo quarto, simul valent cumulum quadrati quinti, trianguli quinti, et duorum triangulorum quarti²⁴⁵ loci. Sed, per decimam nonam, quadratus quintus et duo trianguli quarti conficiunt hexagonum quintum: ergo hexagonus quintus, cum triangulo quinto valebunt duos quadratos quintos, et triangulum quartum; et ideo pro illis substitui possunt in praemissa propositione.

per 44am 225 col. hexa. 5a 175 col.  5a + 40 col.  4a 10 lus 4us   25  5us +   25  5us +   20  4us

per 37am 95 py. hexa 5a pyr.  5. 75246 +247 pyr  4a 20

25 quadratus quintus248 25  5. 15  5. 10  4. 10  4.

hexag. 5. 45 25  5. 10  4. 10  4.