[S:28]

Propositio 63^a

238 Omnis cubus cum quadrato et triangulo collateralibus coniunctus, triplum efficit suae quadratae pyramidis.

Exempli gratia, quintus cubus est 125, quintus quadratus 25, quintus triangulus 15. Aio quod horum aggregatum triplum est ad pyramidem quadratam quintam, scilicet 55; quod sic patet. 239 Cubus quintus per quadragesimam secundam huius aequivalet columnas duas triangulas scilicet quintam et quartam, et triangulum quartum. Item per undecimam [C:36r]huius, quadratus quintus aequivalet duos triangulos, scilicet quintum et quartum. Quamobrem aggregatum praedictum aequivalebit duas columnas triangulas, scilicet quintam et quartam, et quatuor simul triangulos scilicet duos quintos et duos quartos. 240 Igitur demonstrandum erit quod congeries talium duarum columnarum et talium quatuor triangulorum, est tripla ad pyramidem quadratam quintam. Sed cum per trigesimam quartam huius, pyramis quadrata quinta constet ex combinatione duarum pyramidum triangularum quintae et quartae; iam ostendendum erit quod congeries praedicta duarum columnarum et quatuor triangulorum, est tripla ad combinationem dictam duarum pyramidum. Et constat sic. 241 Quod per quinquagesimam huius columna triangula quinta cum duobus triangulis quintis simul conficiunt triplum pyramidis triangulae quintae, et per eandem quinquagesimam²²² columna triangula quarta cum duobus triangulis quartis simul accepta, triplum facit pyramidis triangulae quartae. 242 Ergo, per primam quinti Elementorum Euclidis, tota congeries duarum columnarum et quatuor triangulorum, tripla erit ad totam combinationem duarum pyramidum: quandoquidem partes singulae partibus singulis triplae sunt; et hoc erat demonstrandum. Et similiter pro cubis caeterorum locorum constabit propositum.

cubus 5us 125 75 col. la 5a + 40 col. la 4a - 10  5us -

us 5us 25 10 la 4a - 15 us 5us +

us 5us 15 ---------  5us +

pyr.  5us 55 35 pyr. la 5a + 10 pyr. la 4a -