Propositio 53^a

204 Omnis parte altera longior, quadruplicatus cum unitate, conficit quadratum collateralis imparis.

Nam parte altera longior, per nonam huius, constat ex praecedenti quadrato, suaque radice. Igitur quadruplicatus facit quadruplum talis quadrati (quod quadruplum est numerus quadratus) et quadruplum praedictae radicis, hoc est, duplum radicis huic quadrato debitae. 205 Itaque parte altera longior quadruplicatus cum unitate, efficit congeriem ex quadrato quodam, duploque suae radicis atque unitate confectam. Sed, per decimam quartam huius, talis congeries est quadratus sequens. Igitur parte altera longior quadruplicatus cum unitate facit quadratum; qui cum impar sit, propter unitatis additionem, erit omnino et radix eius impar. Qui scilicet constat ex praecedenti radice duplicata cum unitate, et per inde est impar ipsius parte altera longioris collateralis. 206 Exempli gratia: numerus 30 [C:32r] parte altera longior sexti loci quadruplicatus cum unitate facit 121, quadratum undenarii sexti imparis. Nam 30, per nonam constat ex praecedenti quadrato 25 scilicet quinto, et ex quinta radice 5. Quadruplum autem ipsius 25 est 100, quadratus paris in sexto¹⁸⁶ loco. Quadruplum¹⁸⁷ vero eius radicis scilicet 5 est du [S:24] plum radicis ipsius 100. 207 Igitur quadruplum totius 30 est aggregatum ipsius 100 duploque suae radicis; quod¹⁸⁸ cum unitate, facit per decimam quartam, quadratum sequentem scilicet 11¹⁸⁹ radicis, qui est impar sexti loci. Quod est demonstrandum. Similiter, quod pro sexto loco syllogizamus, ubi vis accommodabis, sicut proponitur.

4 25 100 5 20   1   11 11 121