Formatio Numerorum Praecedentis Tabellae

12 Radices formantur ab unitate et per unitatis continuam additionem.

Impares ab unitate, per binarii continuam additionem; vel ex duabus radicibus.

Pares a binario et per binarii semper additionem; vel duplicando radices.

Trianguli primi, per continuatam radicum accumulationem; sive multiplicando aggregatum collateralis radicis et unitatis in dimidium multitudinis radicum.

13 Quadrati primi ex ductu radicum in se; vel ex aggregatione successiva imparium ab unitate; vel ex coniunctione trianguli collateralis cum praecedenti; vel multiplicando aggregatum collateralis imparis et unitatis in dimidium radicis.

Parte altera longiores ex ductu collateralis radicis¹⁹ in radicem²⁰ immediate praecedentem; sive ex aggregatione continuata parium; sive ex duplato triangulo praecedenti; sive ex praecedenti quadrato cum sua radice.

14 Pentagoni primi ex coniunctione collateralis quadrati cum triangulo praecedenti.

Hexagoni primi ex quadrato collaterali, duploque praecedentis trianguli; vel ex pentagono collaterali dictoque triangulo; vel ex ductu radicum in impares; vel ex quadrato cum parte altera longiori.

15 Pyramides triangulae primae fiunt²¹ ex successiva triangulorum aggregatione²²

Similiter pyramides quadratae ex quadratorum; pyramides pentagonae ex pentagonorum; pyramides hexagonae ex hexagonorum acervo construuntur.

Item pyramides quadratae primae fiunt ex coniunctione collateralis pyramidis triangulae cum praecedenti.

16 Pyramides pentagonae primae ex collaterali quadrata pyramide cum praecedenti triangula pyramide.

Pyramides hexagonae primae ex quadrata pyramide collaterali cum duplo praecedentis triangulae pyramidis; vel ex pentagona pyramide collaterali et triangula pyramide praecedenti.

17 Columnae primae fiunt ex ductu suarum superficierum in radices : utputa triangulae ex radice in triangulos: et sic de caeteris.

Item columnae triangulae primae sunt aequales pyramidibus pentago [S:b] nis primis, singulae singulis. Quod notatu dignum est.

18 Columnae quadratae primae, sive cubi, fiunt ex ductu radicum in suos quadratos; sive ex columna triangula collaterali et praecedenti cum suo triangulo; vel ex pyramide hexagona prima cum pyramide quadrata praecedenti; vel ex aggregatione unius, deinde binorum, deinde trium, deinde quatuor, et sic deinceps imparium.

19 Item columnae pentagonae primae fient ex cubo collaterali cum columna triangula et triangulo praecedentibus.

Columnae hexagonae primae item ex columna pentagona colla[C:10r]terali cum praecedenti triangula columna et suo triangulo²³.

Trianguli secundi fiunt ex triangulo primo praecedenti triplicato cum unitate.

20 Pro quadratis autem secundis, quadruplicetur dictus triangulus.

Pro pentagonis quincuplicetur et sic deinceps pro sequentibus formis, adiecta unitate.

Item trianguli secundi fient ex triangulo primo collaterali et quadrato praecedenti.

21 Quadrati secundi ex quadrato collaterali et praecedenti primis.

Pentagoni secundi ex pentagono collaterali et quadrato praecedenti primis.

Hexagoni secundi aequianguli ex collaterali hexagono primo cum quadrato praecedenti; vel ex quadrato collaterali et praecedenti et parte altera longiore collaterali; vel ex parte altera longiore triplicato cum unitate.

22 Heptagoni ex hexagono secundo collaterali cum triangulo primo praecedenti.

Octogoni ex heptagono dicto collaterali cum triangulo praecedenti primi ordinis; sive (quod notatu dignum est) ex collaterali impari in se multiplicato.

Pyramides secundae fiunt ex accumulatione continuata suarum superficierum, scilicet triangulae triangulorum, quadratae quadratorum secundi ordinis²⁴ et sic deinceps. [C:10v]

23 Item pyramides secundae triangulae fient ex pyramide triangula prima et praecedenti pyramide quadrata.

Pyramides autem quadratae secundae ex pyramide quadrata collaterali cum praecedenti primi ordinis.

Pyramides pentagonae secundae, ex pyramide pentagona prima et pyramide quadrata praecedenti prima.

24 Pyramides hexagonae secundae, ex pyramide hexagona prima et pyra [S:c] mide quadrata praecedenti prima. Et sunt aequales cubis collateralibus, singulae singulis, quod mirum est.

Pyramides heptagonae secundae²⁵, ex hexagona pyramide secunda collaterali cum praecedenti triangula pyramide prima.

25 Pyramides octogonae secundae ex heptagona pyramide collaterali cum praecedenti pyramide triangula prima.

Item unaquaeque dictarum pyramidum fit ex pyramide triangula primi ordinis multiplicata in numerum laterum, una cum radice collaterali.

26 Columnae secundae fient ex multiplicatione suarum superficierum in radices collaterales, triangulae scilicet triangulorum, quadratae quadratorum. Et deinceps similiter.

Item omnis columna secundi ordinis fiet ex columna eiusdem nominis in primo ordine cum praecedenti cubo et quadrato coniuncta.

27 Omnis columna triangula prima cum duplo sui trianguli, facit triplum suae pyramidis.

Omnis cubus cum suo quadrato et triangulo, facit triplum [C:11r] suae pyramidis.

Omnis columna pentagona prima cum duplo quadrati²⁶ collateralis, facit triplum suae pyramidis.

28 Omnis columna hexagona prima cum suo hexagono collaterali et triangulo, facit triplum suae pyramidis.

Omnis columna triangula secunda cum collaterali quadrato et triangulo primis²⁷, facit triplum suae pyramidis.

Omnis²⁸ columna quadrata secunda cum duplo collateralis²⁹ quadrati primi, facit triplum suae pyramidis.

29 Omnis columna pentagona secunda cum duplo quadrati collateralis³⁰ primi et cum triangulo praecedente primo, facit triplum suae pyramidis.

Omnis columna hexagona secunda cum hexagono secundo et impari collaterali, facit triplum suae pyramidis.

Item eadem columna cum quadrato et hexagono primis, facit triplum suae pyramidis.

30 Omnis columna septangula cum hexagono secundo et impari collateralibus, et cum triangulo primo praecedenti, facit triplum suae pyramidis.

Omnis columna octangula cum hexagono secundo et impari collateralibus, duploque trianguli praecedentis primi, facit triplum suae pyramidis. [S:d]

De Solidis Regularibus

31 Tetrahedrum seu pyramis construitur ex unitate, cum quatuor radicibus praecedentibus, cum sexcuplo trianguli [C:11v]primi, uno retrorsum intermisso, accepti, et cum quadruplo pyramidis triangulae secundae praecedentis.

Cubus construitur ex unitate cum octo radicibus praecedentibus, cum duodecuplo trianguli primi, uno retrorsum intermisso, sumpti, cumque sexcuplo pyramidis quadratae secundae praecedentis.

32 Octahedrum construitur ex unitate, sexcuplo radicis praecedentis, ex duodecuplo trianguli primi, uno intermisso, recepti, et ex octuplo pyramidis triangulae secundae praecedentis. Quod semper exit aequale cubo praedicto.

Icosahedrum construitur ex unitate, ex duodecuplo radicis praecedentis, ex trigecuplo³¹ trianguli primi³², uno retrorsum omisso, accepti, et ex vigecuplo pyramidis triangulae secundae praecedentis.

33 Dodecahedrum construitur ex unitate, ex vigecuplo radicis praecedentis, ex trigecuplo trianguli primi, uno retrorsum intercidente, occurrentis, et ex duodecuplo pyramidis pentagonae secundae praecedentis. Quod semper invenitur aequale icosahedro dudum memorato.

34 Item cubus aut octahedrum praedictum (sunt enim aequales) potest aliter construi. Nam dispositis³³ imparibus ab unitate per ordinem, unitas faciet primum cubum praedictum; tres sequentes impares secundum; quinque sequentes impares tertium; deinde septem succedentes quartum; novem quintum. Et sic deinceps in infinitum, impares sub multitudine impari successive coacervando.

[C:12r] 35 Adhuc idem cubus seu octahedrum producetur ex ductu imparis collateralis in quadratum secundi generis collateralem.

Et notandum quod talis cubus sive octahedrum semper est pyramis triangula³⁴ secundi generis in locis imparibus accepta.

36 Praeterea non omittendum est quod ex successiva coacervatione talium cuborum sive octahedrorum ab unitate per ordinem, constituuntur quadrati quadratorum ab unitate seriatim receptorum. Qui quidem quadrati quadratorum, seu bisquadrati producuntur ex quadratis primis in se ductis. Quod sicut hactenus ignoratum, ita posthac iucundum scitu fiet speculativis ingeniis.

37 Denique cum his, neque illud subtacebo³⁵, quod tetrahedrum superius memoratum, est et cubus mixtus quidam tertii generis, qui conflatur ex binis semper proximis cubis primi ordinis, scilicet collatera [S:e] li et³⁶ praecedenti. Quemadmodum quadrati secundi ex duobus quadratis primis, collaterali et praecedenti coalescunt. Quod non minus erat admirandum.

Haec omnia in tabella praemissa per exempla singula notescunt et in primo horum Arithmeticorum libello demonstrantur.

De Numero Perfecto

38 Perfectus numerus producitur ex multiplicatione ultimi in serie pariter parium ab unitate dispositorum, in [C:12v] totum aggregatum ipsorum, dum tamen tale aggregatum sit numerus primus, hoc est a nullo praeterquam unitate numeratus. Tales numeri semper inveniuntur in ordine triangulo et hexagonorum primorum. 39 In hoc numero perfecto partes integrant totum, ut ostendit Euclides in ultima noni. Secunda conditio faciens numerum perfectum est imparitas. Unde impar numerus perfectior quam par: quoniam affinitatem habet cum Monade genitrice numerorum, quae repraesentat Deum, Mundum, Naturam, Solem et quidquid unicum est. 40 Tertia conditio est potestas. Unde impares numeri, quorum potestas et officium est formare numeros quadratos, perfectiores sunt paribus, qui formant parte altera longiores. Rursus hexagoni aequianguli sunt perfectiores quam impares communes: quoniam formant cubos. 41 Quarta conditio est forma. Unde numeri aequilateri perfectiores quam non aequilateri. Sic quadratus perfectior quam altera parte longior. Et cubus perfectior quam solidus non aequilaterus. Item hexagonus aequiangulus perfectior quam hexagonus primus. 42 Unde prima conditio frivola est: quoniam nuda et expers est caeterarum fructuosiorum qualitatum. Verum haec discussio posita est in postremo problematum mechanicorum .