PROPOSITIO XXI

160 Sumpto spatio sub spira primae revolutionis, et recta, quae initium est revolutionis compraehenso, potest figura circumscribi et inscribi, ita ut circumscripta et inscripta ex frustis, seu sectoribus similibus, sint compositae, et haec ab illa superetur excessu, qui quocumque dato spatio minor existat.

161 Sit spira primae revolutionis ABCDE, cuius initium A, linea exordii AE, primus circulus EFGH, cum diametris EAG, FAH se vicissim ad rectos secantibus. Oportet spatio sub spirali ABCDE, rectaque AE figuram circumscribere et inscribere, eo modo, quo proponitur. 162 Secentur anguli recti bifariam, iterum, atque iterum ductis semidiametris AK, AL, AM, AN, donec deveniatur ad sectorem dato spatio minorem¹⁸, sitque ille¹⁹ LAE. Tales autem semidiametri secabunt spiram utpote AL in puncto O, AK in puncto R, AM in puncto Y, AH in puncto D, AN in puncto , et receptae a peripheria spiralis ad centrum A, scilicet A, AD, AY, AR, AO crescunt continuatim, et aequalibus differentiis, per 10^<am> huius; quo fit ut circulares peripheriae super centro A, secundum receptarum intervalla descriptae, secent spiram hinc inde intus et extra spiram, semidiametris occursantes, quae peripheriae sint POQ, SRT, XYZ, VDI . Quibus peractis, iam satisfactum est proposito. 163 Namque figura spirali formae circumscripta constat ex quinque frustis, scilicet LAE, QAO, TAR, ZAY, IAD similibus: quan[S:215]doquidem sunt sectores circulorum sub aequalibus angulis contenti, figura vero spirali formae inscripta constat ex quatuor frustis PAO, SRA, XYA, VDA similibus et aequalibus singulis frustis figurae circumscriptae. 164 Nam frustum OAP ipsi QAO, frustum RAS ipsi TAR, frustum XYA ipsi ZAY; frustum denique VDA ipsi IAD aequale est, et omnia sunt similia, quoniam similes sunt circulares sectores: itaque figura circumscripta excedit inscriptam in frusto LAE. Quod fuit dato spatio minus, quod possibile factu proponitur esse.

COROLLARIUM

165 Ex hoc manifestum est, quod dicto spirali spatio potest figura tum circumscribi, tum inscribi, qualis dicta est, ita ut circumscripta superaddat spirali formae minus quocumque dato spatio et inscripta diminuat ab eadem area spirali minus quocumque dato spatio. 166 Nam, si excessus circumscriptae super inscriptam datur minor quocumque proposito spatio, multo minor erit excessus circumscriptae super spiralem formam et spiralis formae super inscriptam.