PROPOSITIO XX

150 Si recta spiram primae revolutionis tangat, non quidem in eius termino, et a puncto contactus ad initium spirae recta ducatur, ipsoque initio posito centro ad spatium ductae circulus describatur. Item perpendicularis ad ductam excitetur ab initio spirae: excitata cum tangente concurret et ipsa inter initium et concursum recepta, aequalis erit peripheriae circuli descripti ab exordio dictae revolutionis ad contactum usque secundum revolutionis ordinem computatae.

151 Sit spira primae revolutionis ABCDH, cuius initium A, linea revolutionis initium AH, tangens spiram sit recta EDF, punctum contactus D, connexaque AD ipsi perpendicularis ducatur AF. Cumque ADF angulus acutus sit per 16^<am> huius, ipsae AF, DF concurrent, utpote ad F. Descriptoque super centrum A ad spatium AD circulo DMK. 152 Ostendendum est quod linea AF aequalis est peripheriae circulari KMD. Nam secus erit aut maior, aut minor. Sit, primum, maior AF quam peripheria KMD et hinc ponatur AL brevior quidem quam AF, maior autem quam peripheria KMD. 153 Eritque ratio DA ad AL maior quam semissis DV chordae ad perpendicularem sibi eductam a puncto A. Quippe quae est sicut DA ad AF, propter similitudinem triangulorum, igitur per 5^<am> huius, potest educi linea ARE, secans circulum apud R, et tangentem apud E, et spiralem apud Q. Ita ut RE ad DR chordam sit sicut DA ad AL, hoc est AR ad AL. 154 Eritque, permutatim, ER ad RA sicut chorda DR ad AL. Sed ratio chordae DR ad AL, minor est quam arcus DR ad peripheriam KMD, quandoquidem DR chorda brevior est arcu DR et AL maior quam peripheria KMD. 155 Ergo ratio ER ad RA minor est quam arcus DR ad peripheriam KMD, et, coniunctim, ratio EA ad AR minor quam peripheriae RDMK ad peripheriam KMD circuli. Sed, per 14^<am> huius, sicut KMDR peripheria ad KMD peripheriam, sic AQ ad AD, quae ad spiralem ambitum terminantur. 156 Igitur ratio EA ad AR minor quam AQ ad AD et, permutatim, [S:214] ratio EA ad AQ minor quam AR ad AD. Sed AR, AD aequales sunt, ergo AQ longior est quam AE pars toto, quod est impossibile. Non est ergo maior AF arcu KMD.

157 Et similiter, sicut in 18^<a> fecimus, ostendemus quod nec minor. Unde superest ut sit aequalis, sicut demonstrandum proponitur.

SCHOLIUM

158 Quod si recta spiram secundae revolutionis tangat non in eius termino, et caetera ut dudum disponantur, recepta inter initium spirae et concursum, aequalis erit peripheriae totius circuli per contactum descripti et insuper arcui ab exordio spirae ad contactum usque continuato secundum ordinem revolutionis. 159 Sed et in spiris tertiae, quartae, et quotaecumque revolutionis, talia recepta multiplex erit ad ambitum dicti circuli secundum numerum unitate minorem numero revolutionum, et insuper compraehendet peripheriam ab initio ad contactum per ordinem revolutionis deductam. Quae omnia eodem modo demonstrantur.