PROPOSITIO XIX
141 Si recta spiram secundae revolutionis contingat in termino spirae, et ab initio spirae perpendicularis excitetur ad rectam, quae initium revolutionis est, excitata concurret tangenti, et ab initio spirae ad concursum usque recepta, dupla erit ad peripheriam circuli secundi.
142 Esto spira primae revolutionis ABCH, secundae autem HET, et HKG circulus primus et TNM circulus secundus. Linea revolutionis AHT, cui perpendicularis instet AF tangens spiram in puncto T sit linea STF, quae concurret cum AF, cum, per 17<am> huius, angulus ATF sit acutus. 143 Ostendendum est itaque ipsam AF a puncto A, usque ad talem videlicet concursum receptam, esse duplam ad peripheriam circuli TMN. 144 Secus enim ipsa AF erit aut maior, aut minor quam dupla ipsius circuli TMN ambitus. 145 Sit primum maior, et ponatur AL minor quam AF, maior autem quam dupla praedicti ambitus. Eritque proportio TA ad AL maior quam semissis chordae TN ad perpendicularem a puncto A ad TN eductam, quam de circulo abscindit ipsa STF tangens spiram. Namque semissis TN ad ipsam perpendicularem, est sicut TA ad AF, propter similitudinem triangulorum. 146 Igitur, per 5<am>, potest educi linea ARS secans circulum TNM apud R, tangentem vero apud S, spiralem apud Q: ita ut RS ad chordam TR sit sicut TA ad AL, hoc est RA ad AL. Eritque, permutatim, RS ad RA sicut TR ad AL, sed ratio chordae TR ad AL minor est quam ratio arcus TR ad duplum circuli ambitus TMN. Quandoquidem TR chorda brevior est arcu TR, ipsa autem AL maior quam duplum ambitus TMN. 147 Ergo, proportio SR ad RA minor est quam ratio arcus TR ad duplum ambitus dicti circuli et, coniunctim, ratio SA ad AR minor est quam arcus TR, una cum duplo ambitus circuli TMN, ad duplum ipsum ambitus circuli TNM. Sed, per 15<am> huius, sicut TR arcus, cum duplo ambitus circuli TMN, ad id ipsum duplum ambitus eiusdem circuli TNM, sic linea AQ ad AT, quae ad peripheriam spiralis terminantur. Igitur ratio SA ad AR minor est quam AQ ad AT, et, permutatim, erit proportio SA ad AQ minor quam AR ad AT. Sed AR, AT sunt aequales: ergo AQ maior quam AS pars toto. Quod est impossibile.
148 Non est igitur AF maior, quam dupla peripheriae circuli TMN. [S:213] Similiter, quemadmodum in praecedenti fecimus, ostendemus, quod neque minor quam dupla. Unde superest, ut omnino dupla sit.
SCHOLIUM
149 Similiter, autem, in spiris caeteris tertiae, quartae et quotaecumque revolutionis, si praedicto modo tangens spiram et perpendicularis a terminis rectae (quae initium revolutionis est) educantur, semper portio ex perpendiculari inter initium spirae concursumque eductarum recepta, erit tam multiplex ad ambitum circuli, qui extremus spiram ambit, quot fuerint ipsius spirae revolutiones.