PROPOSITIO XVIII
124 Si recta spiram primae revolutionis contingat in termino spirae, et ab initio spirae perpendicularis excitetur ad rectam, quae principium revolutionis est, excitata coincidet tangenti, et quantacumque est inter initium spirae atque coincidentiam intercepta, aequalis erit peripheriae primi circuli.
125 Esto linea spiralis ABCDH, eius initium A, principium revolutionis linea AH, cui ad rectos excitetur AF. Ipsa autem HF tangat spiram in puncto H, quae concurret ipsi AF. Cum, per antepraemissam, angulus AHF sit acutus, concurrat ad punctum F, et HF secet circuli peripheriam in duobus punctis: H et G. 126 Ostendendum est itaque lineam AF esse aequalem peripheriae circuli GHK. Secus enim erit aut maior, aut minor. Primo, sit AF maior quam peripheria circuli HKG. 127 Ponatur tunc linea AL minor quidem quam AF, maior autem quam peripheria circuli HKG. Eritque ratio HA ad AL maior quam semissis subtensae HG ad perpendicularem a puncto A ad lineam HG (quippequae est sicut HA ad AF, propter similitudinem triangulorum). Igitur, per 5<am> huius, potest educi linea ARN secans circulum in R, spiram in Q, tangentem in N, ita ut RN ad chordam HR sit sicut HA, vel AR ad AL. Eritque permutatim sicut RN ad AR, sic recta HR ad AL. Sed ratio HR ad AL minor est, quam HR arcus ad totum ambitum GHK circuli (quandoquidem HR chorda brevior quam arcus HR, et AL maior ambitu circuli), ergo ratio NR ad RA minor est quam HR arcus ad totum circuli ambitum. Et coniunctim ratio NA ad AR minor est ratione arcus HR cum toto ambitu circuli ad totum circuli ambitum. Sed, per 15<am> huius, sicut HR arcus cum toto ambitu ad totum ambitum, sic recta AQ ad AH, quae in spirali terminantur. Igitur ratio NA ad AR minor est quam AQ ad AH et, permutatim, ratio NA ad AQ minor quam AR ad AH, quae, cum sint aequales, sequitur ut AQ sit longior quam AN, pars toto, quod est impossibile. 128 Non est igitur AF minor ambitu circuli GHK.
129 Si autem AF minor fuerit quam peripheria circuli GHK, ponatur item AL maior quidem, quam AF minor autem quam ambitus circuli, et ducatur HM aequidistans ipsi AF, et perinde tangens circulum apud H. Eritque proportio HA ad AL minor quam semissis chordae GH ad sibi perpendicularem a centro A coniunctam, hoc est minor quam HA ad FA, quippe quae est sicut HA ad AF, propter similitudinem triangulorum HNA, HAF. 130 Igitur, per 6<am> huius, potest duci linea AQNRP secans chordam GH apud N, circulum apud R, ipsamque HM apud P, et spiralem apud Q. Ita ut RN ad HP sit sicut HA ad AL, hoc est sicut AR ad AL. Itaque fiet permutatim NR ad RA sicut HP ad AL. Verum ratio HP ad AL maior est quam [S:210] arcus HR ad ambitum totius circuli GHK (quandoquidem HP maior arcu HR, et AL minor toto ambitu). Igitur maior erit ratio NR ad RA, quam arcus HR ad totum ambitum; quare conversim, et eversim, ratio RA ad AN maior quam totius ambitus ad peripheriam HKR.
131 Sed, per 14<am> huius17, sicut est totus ambitus ad peripheriam HKR, sic AH ad AQ quae in spirali terminantur. Igitur ratio RA ad AN maior quam AH ad AQ. Sed RA, AH sunt aequales: ergo AQ longior est quam AN; pars toto, quod est impossibile. 132 Non est igitur AF minor, quam peripheria circuli GHK; fuitque ostensum quod nec maior: aequalis ergo erit sicut proponitur.
SCHOLIUM
133 Attendendum, quod in hoc libro Spiralium linearum, 4<a> et 7<a> propositiones, quae sunt de numero lemmatum ad demonstrationem spiralium necessariae non videntur. Quandoquidem necubi citantur, ut citantur prima, 2<a>, 3<a>, 5<a>, 6<a>, 8<a> et 9<a> propositiones, quae sunt ex eodem numero cum reliquis. Verumtamen supervacuae non sunt: nam, sicut 5<a> et 6<a> usuveniunt demonstrationi 18<ae> et duabus sequentibus; ita 4<a>, et 7<a> ad earumdem demonstrationem oportunae sunt, hoc pacto: in prima parte demonstrationis 18<ae> et in prima descriptione, sicut ducitur, per quintam, linea ARQN secans circulum apud R, spiram deinde apud Q, et tangentem spiram apud N, ita ut RN ad chordam HR sit sicut AR ad AL, atque ita per argumentationem adversarius deducitur ad impossibilitatem. Similiter et per quartam duci potest linea quaedam, ut puta AQNR ad arcum GH, quae de circulo abscindat lineam RH, et lineam NH tangentem spiram; quae quidem linea AQNR dum educitur a puncto A secat spiram apud Q, deinde ipsam FH, hoc est chordam arcus HG apud N. Postremo arcum ipsum HG apud R; ita ut RN linea scilicet cadens inter chordam, et arcum ad chordam RH, sit sicut AR ad AL; et per similem argumentationem [S:211] compellitur adversarius ad absurditatem. 134 Utroque enim modo, sive 5<a>, utaris, ut in exemplaribus apparet, sive 4<a> adhibeas. Ibi ducendo lineam ARQN ad chordam arcus HG extra circulum productam: hic vero lineam AQNR ad dictam chordam intra circulum, eodem penitus syllogismo, ad hoc impossibile devenitur, ut cogatur adversarius fateri lineam AQ longiorem esse linea AN partem scilicet toto. 135 Archimedes ergo contentus uno modo reliquum (qui similiter penitus procedit) omisit, id idem intellige de prima parte demonstrationis tam 19<ae>, quam 20<ae> propositionis. nam hae duae propositiones non aliter, quam 18<am> demonstrantur.
136 In secunda autem parte demonstrationis eiusdem 18<ae>, et in secunda descriptione, sicut ducitur per 6<am>, linea AQNRP primum secans spiram apud Q, deinde chordam GH (quae pars est ipsius FH tangentis spiram) apud N, postea arcum GH apud R. Postremo apud P ipsam MH, quae tangit circulum apud H, ita inquam ducitur, ut RN ad HP, sit sicut AR ad AL. Atque ita per argumentationem devenitur ad hoc impossibile, ut AQ longior sit, quam AN pars scilicet toto. Similiter, per 7<am>, duci potest linea quaedam, ut puta ARPQN secans ipsam GH extra circulum productam, sed primum quidem secans circulum apud R, secundo ipsam MH, quae tangit circulum in P, tertio spiram apud Q, postremo apud N ipsam GH extra circulum extensam, quae tangit spiram. Ita inquam duci potest, ut RN inter circulum, et chordam GH, extra circulum extensam recepta, ad HP sit sicut AR ad AL, et per eumdem argumentandi processum ad illud idem impossibile deveniri, ad astruendum, contrariis destructis, propositum. 137 Archimedes tamen uno contentus modo, reliquum omnino pene similem omisit. Id idem quoque dicendum est de secunda parte demonstrationis tam 19<ae> quam 20<ae> quarum demonstratio est adeo similis demonstrationi ipsius 18<ae> ut Archimedes in ipsarum utraque secundam demonstrationis partem omisit lectorem ad 18<am> remittens. 138 Ad summam itaque demonstrationi 18<ae> sicut inserviunt 5<a>, et 6<a> propositiones; loco earum et 4<a> cum 7<a> sub eadem argumentatione ducta praedicto modo linea inservire facillime possunt. 139 Sed ductionem memoratae lineae in prima et secunda parte demonstrationis 18<ae> suam singulis descriptionem exponentes hic declarare decrevimus. 140 Et demonstrando procedamus eodem penitus modo, iisdemque verbis, quibus in ipsa 18<a> fecimus hoc excepto, ut lineae AQNR et ARPQN ducantur, ut dictum est, et hic descriptae sunt Et pro 5<a> et 6<a> propositionibus, 4<a> et 7<a> sicut iam tradidimus, adducantur. Hoc idem penitus in demonstratione tam 19<a> quam 20<a>, quandoquidem sicut 18<a> demonstrantur, faciemus.