PROPOSITIO XVII
118 Quod si recta spiram secundae revolutionis contingat, illud idem eveniet.
119 Sit spira secundae revolutionis HKD, linea tangens EF, punctum contactus D, et cetera, ut prius. Iam enim et similiter ostendetur quod angulus ADF non est acutus (quoniam, ut antea, peripheria circularis DR intra spiram, et perinde intra lineam DF, cadit) sed nec rectus. 120 Sit enim, si possibile est, angulus ADF rectus. Tunc autem, per 16<am> tertii Elementorum, linea EF tanget circulum RDN in puncto D. Ducatur AGD, ducatur item ACSRLI secans spiram apud L, et circulum apud R. Ita ut, per 3<am> huius, ut prius, ratio lineae RI ad AR lineam minor sit, quam ratio DR peripheriae ad totam circuli RDN peripheriam, una cum peripheria DNT sumptam. Et hinc coniunctim erit ratio totius IA lineae ad AR, minor quam ratio peripheriae RDNT cum tota circuli RDN peripheria, ad totam circuli RDN peripheriam cum DNT peripheria sumptam, hoc est minor quam <ratio peripheria SGKH cum tota circuli15> SGK peripheria, <ad totam circuli SGK peripheriam cum16> GKH peripheria sumptam. 121 Sed, per 15<am> huius, sicut est peripheria SGKH cum toto circulo ad peripheriam GKH cum toto circulo, sic est linea AL ad lineam AD. 122 Igitur maior est ratio lineae AL ad lineam AD, quam lineae IA ad lineam AR, et permutatim maior est ratio lineae AL ad lineam IA, quam lineae AD ad lineam AR. Sed AD, AR sunt inter se aequales, igitur AL longior quam AI, pars toto, quod est impossibile. Non est igitur angulus ADF rectus, sed nec acutus, itaque obtusus erit, quod est propositum.
COROLLARIUM
123 Similiter, in quacumque spira tertiae, quartae et quotaecumque revolutionis, recta spiram tangens cum recta iungente initium spirae et contactum, demonstrabitur obtusum compraehendere angulum ad partes ubi spira dilatatur.