PROPOSITIO VIII.

Si in circulo descripti polygonii aequilateri dimidium, ad terminos diametri terminatum, diametro stante moveatur perfecta revolutione; descripti solidi conicae superficies coniunctae aequales erunt ei, quod fit ex ductu lateris polygonii in omnes peripherias circulorum ab angulis polygonii descriptorum.

Intra circulum AB, cuius diameter AB, describatur polygonium aequalium laterum, ut puta decagonum AGDEZBHTKL, et ducantur GL,DK,ET,ZH, quae etiam ad rectos angulos secabunt diametrum AB in punctis M, N, X, O; circumvolvatur autem dimidium polygonii utrumlibet, ut puta dimidium ADB stante diametro AB completa revolutione, qua circumductione ipsum polygonii dimidium describet quodam solidum tornatile ADB compositum ex diversis, solidis, scilicet ex conis, quos describunt triangula AGM, BZO, ex conis-coluris, quos describunt trapezia MGDN, OZEX, et ex cylindro, quem describit rectangulum NDEX; describunt inquam in ipsa semipolygonii revolutione.

Si numerus laterum ipsius semipolygonii sit par, tunc ad compositionem descripti solidi non interveniet cylindrus, non enim erit latus medium, quod parallelum sit diametro, sicut hic ED parallelus est ipsi AB, et in revolutione describat cylindrum. Aio itaque quod solidi tornatilis AB conicae superficies, hoc est tota solidi superficies aequalis est ei, quod fit ex ductu lateris AG in peripherias circulorum, quos describunt lineae MG, ND, XE, OZ, nam per 2. huius conica superficies, quam describit linea AG aequalis est ei, quod fit ex AG in dimidium peripheriae descriptae ab angulo G, et per eandem, conica superficies, quam describit linea BZ, aequalis est ei, quod fit ex BZ, vel AG in dimidium peripheriae descriptae ab angulo Z. Item per praecedentem curva superficies coni-coluri, quam describit linea GD aequalis est ei, quod fit ex ductu lateris GD, vel AG in dimidias peripherias descriptas ab angulis G, D: et per eandem superficies coni-coluri, quam describit linea EZ, aequalis est ei, quod fit ex ductu lateris EZ, vel AG in dimidias peripherias descriptas ab angulis Z, E. Adhuc cylindrica superficies quam describit linea DE per 1. huius, aequalis est ei, quod fit ex ductu lateris DE in peripheriam descriptam ab angulo D, vel angulo E, cum uterque describat peripheriam cylindricae basis, et ideo dicta cylindrica superficies aequalis est ei, quod fit ex ductu lateris DE vel AG in dimidias peripherias descriptas ab angulis E, D. Itaque in hos ductus concurrunt omnes, et integrae peripheriae descriptae ab angulis G, D, E, Z. Quare per 1.2. elementorum omnes conicae superficies descriptae a semipolygonio ADB, quae tota est a semipolygonio descripti solidi superficies aequalis est ei, quod fit ex ductu lateris AG in peripherias omnes, et integras descriptas ab angulis G, D, E, Z. [S:50]

Hoc idem ostendam de solido descripto a semipolygonio cuius laterum numerus erit par, sed quoniam ibi non contingit aliquis cylindrus, non opus erit citare 4. huius sed solum 2. propter conos, qui semper fiunt apud extrema diametri stantis, et per praecedentem, propter conos-coluros intermedios: verum ergo, quod proponitur.