PROPOSITIO XXI.

Datis duabus quibuscunque superficiebus aliquam superficiem esse uni earum similem, et alteri aequalem.

Haec propositio est tanto generalior, decimaquarta, et vigesima huius, quanto superficies generalior, quam circularis, aut sphaerica. Sit igitur, exempli gratia, superficies quaevis A. Et portio quaepiam circuli BED super chordam BD. ostendam aliquam circuli portionem esse superficiei A aequalem, et portioni BED similem. Sit enim, per septimam huius, sicut BED portio ad A superficiem, sic BD chordae quadratum ad quadratum CF lineae: et per 31. tertii Elementorum super CF lineam constituatur circuli portio CGF, similis ipsi BED portioni: et quoniam chordae similium portionum sunt diametris circulorum proportionales: et perinde quadrata quadratis proportionalia: atque per undecimam huius, similes portiones circulorum sunt quadratis diametrorum proportionales: idcirco erit sicut quadratum BD ad quadratum CF sic portio BED ad portionem CGF. Itaque cum eandem rationem habeat portio BED ad portionem CGF, quam et ad superficiem A aequalis erit, per nonam quinti elementorum superficiei A portio CGF. Sed et similis fuit portioni BED, constat ergo propositum.

Similiter data qualibet superficie, et alia quavis superficiali figura, ut pote cylindrica, conica, demonstrabimus aliquam superficiem esse figurae propositae similem, et datae superficiei aequalem, pro undecima tamen duodecimam, xiii. aut xvi. huius adducentes. [S:12]

Item data superficie, ac tornatili solido, non aliter per Decimamseptimam ostendemus, esse quodpiam tornatile solidum, cuius superficies datae sit aequalis, ac tornatilis propositi superficiei similis, etc.