PROPOSITIO XVIII.
Sit tandem portio BTG contenta a recta, et sectione rectanguli coni, cuius vertex sit signum T, quod connectatur cum subtensa BG: aio quod portio BTG epitrita est trigoni BTG; nam cum T sit portionis BTG, vertex erit ipsa BG penes eam, quae sectionem apud T contingit. Ducatur ergo penes diametrum recta TE, sive ipsa diameter; eritque per primam huius libri, quae BE aequalis ipsi EG; ducatur item penes diametrum ipsa BD, cui apud D punctum occurrat, ipsa GD sectionem apud G contingens: ipsi autem GD apud K occurrat et producta; et quoniam ET diameter, vel penes diametrum, et quae BG penes eam, quae apud T contingit sectionem, et GK sectionem apud G contingens ipsi ET concurrit apud K. Ideo per 3. aequalis est ET ipsi TK. Quare per 38. primi elementorum, aequale est trigonum KTG trigono TGE, et per eandem aequale est trigonum TGE trigono ETB: posito ergo communi trigono TGE, fit trigonum KEG aequum trigono BTG. Sed per 17. sexti elementorum, trigonum DBG quadruplum trigoni KEG sibi similis, quoniam latus lateris duplum. Igitur et trigonum DBG quadruplum erit trigoni BTG; fuit autem per praemissam, trigonum DBG triplum portionis BTG: ergo portio BTG epitrita est trigoni BTG: et hoc est quod a principio demonstrandum promiseramus.
COROLLARIUM.
Itaque triplum est triangulum BTG aggregati rectarum portionum BT, TG, sed per praemissam, triangulum KTG, et ideo triangulum ETG triplum est portionis TG: ergo triangulum BTE residuum triplum est portionis BT residuae: cumque triangula BTE, ETG sint invicem aequalia, erunt et ipsae portiones BT, TG aequales.
Hactenus tamen hoc demonstratum est interveniente doctrina aequalium momentorum; deinceps idem argumentis pure geometricis ostendetur. [S:191]
SECUNDA PARS LIBELLI.
Portionum contentarum a recta, et curva linea basim quidem voco rectam, altitudinem autem maximam kathetum a curva linea ductam ad basim portionis.
Verticem vero signum, a quo maxima kathetus ducitur.