PROPOSITIO XXXXIX.
Uniforme grave sic constituere, ut in spatiis momenta ferat aequalia unicuique multiplici dati ponderis usque ad multiplex dati numeri.
Exempli gratia, sit datum pondus G, datus numerus denarius; oportet constituere uniforme grave, ut in spatiis ferat momenta aequalia duplo, triplo, et deinceps usque ad decuplum ipsius G: a dato numero subducatur binarius, et relinquitur octonarius; huius binarius pars est quarta: sit ergo uniforme grave AB quarta pars dati ponderis G, quod secetur apud C, ita ut BC sit quinta pars reliqui CA, quota scilicet fuit binarius denarii: mox secetur CA in partes aequales, quot unitates in dato numero, secetur et BC per aequalia apud E, et a puncto E suspendatur grave F ipsi G dato aequale, quibus peractis, habebimus tres magnitudines primam videlicet grave BC secundam grave CA, tertiam aggregatum ex BC et F. Estque excessus secundae CA super primam BC quadruplus ad primam BC (quandoquidem AC quintupla ipsius BC) itemque F excessus tertiae BC, F super primam BC quadruplus, ad AB aggregatum ex prima, et secunda: igitur per praecedentem, hae tres magnitudines sunt continue proportionales, hoc est sicut grave BC ad grave CA, sic grave CA ad aggregatum BC, F. Quamobrem per 41. huius, si suspendatur libra a puncto C grave BC, F aequeponderabit gravi AC: ecce igitur AC aequeponderat ipsi F quod est aequale dato ponderi G. Appendantur itaque a puncto E decem gravia singula ipsi F, hoc est ipsi G aequalia, quae sint H, I, K, L, M, N, O, P, 
, 
, respondentia totidem spatiis, in quae secta est CA apud Q, R, S, T, D, V, X, Y, Z, A puncta, et appendatur grave G a puncto Q: cum enim AC grave aequeponderet ipsi BC, F. Et grave G aequeponderet ipsi H per 18. huius. Iam per 44. vel 46. huius, tota libra aequeponderabit: et perinde pondus G a puncto Q suspensum contranitetur appenso FH quod duplum est ipsius G dati; deinde pondus G appensum a puncto R (quoniam RC spatium duplum ipsius spatii CE) iam per 31. aequeponderabit gravi HI sibi duplo, et ideo per 44. vel 46. tota libra aequependebit: [S:111] quare tunc pondus G contranitetur appenso FHI, quod triplum est ipsius G dati. Similiter pondus G appensum a puncto S contranitetur appenso FHIK, quod quadruplum est ipsius G. A puncto deinde T feretur quintuplum eiusdem, hoc est totius FHIKL: a puncto D sexcuplum, hoc est FHIKLM. A puncto V septuplum, quod est ipsum FHIKLMN. A puncto X octuplum, quod est ipsum FHIKLMNO. A puncto Y nonuplum, quod est ipsum totum FHIKLMNOP. A puncto Z decuplum, quod est ipsum FHIKLMNOP. A puncto A undecuplum, quod est ipsum FHIKLMNOP: sed a puncto A quod est extremum baculi non solet appendi pondus G; sicut neque F cum suis appenditur ab extremo B: itaque usque ad decuplum ipsius F, hoc est G dati ponderis, crescit ipsius G ad alia, et alia spatia pendentis momentum; dum uniforme grave AB suspenditur a puncto C: quod proponebatur faciendum.
Quod si F ponatur duplum ipsius G momenta spatiorum inciperent a triplo, et desinerent in undecuplum. Si F ponatur triplum ipsius G momenta initium sumerent a quadruplo, et desinerent in duodecuplum; et ita deinceps: nec secus faciendum quocumque pondere, numeroque datis. Hinc oritur tota ratio staterae, et sacomatis. Verum super eo negotio caetera, qae non pauca proponi, et quaeri possunt, mechanicis indaganda relinquimus.