PROPOSITIO XXIV.

Si conoides hyperbolicum plano secetur obliquo ad axem, et circumquaque coincidente curvae solidi superficiei; facta sectio ellipsis erit; cuius maior diameter erit linea, quae communis sectio est plani secantis cum hyperbola describente solidum ipsum.

Esto solidum conoides descriptum ab hyperbola ABC super axem BD circumvoluta; in qua linea ducatur GK oblique secans axem, et super GK erigatur planum erectum super planum ABC, et solidum ipsum secans. Aio quod facta in solido sectio erit ellipsis, cuius maior diameter est ipsa GK. Ducatur enim linea FE ipsi GK aequidistans, et in puncto F tangens hyperbolem, axique occurrens apud E: cui coincidat item BH tangens hyperbolem apud B verticem. Secetur GK per aequalia apud L, et in eadem GK punctum utcumque capiatur O, et ducantur ad rectos axi ALC, MON lineae, super quas plana ad axem erecta solidum secent; eruntque per 17. huius, factae sectiones circuli; quorum diametri AC, MN, circulorum autem cum plano per GK ducto communes sectiones sint lineae LP, OQ: itaque peripheria fa[S:244]ctae sectionis ibit per puncta G, P, Q, K; et circuli per ipsa P, Q puncta: quibus completis, sicut in praemissa praecepimus: quia per 17. tertii conicorum elementorum sicut est quadratum BH ad quadratum HF, sic est iam rectangulum ALC, hoc est quadratum PL ad quadratum KL: item et sic rectangulum MON, hoc est quadrata OQ ad rectangulum GOK; et est minor LP quam KL (quoniam minor BH, quam HF: quandoquidem per 36. primi conicorum BD maior, quam BE, et ob id FH maior quam HE) et HE maior quam BH: itaque si ponatur ellipsis maior diameter GK, minor autem semidiameter PL: iam ipsa OQ erit ordinata a peripheria talis ellipsis ad diametrum GK, et similiter ostendemus quod sicut quadratum OQ ad rectangulum GOK servat proportionem quadrati PL ad quadratum KL, sic et omnis alia a peripheria factae sectionis ad diametrum GK ordinata servabit potentialiter ad contentum sub factis diametri portionibus eamdem rationem. Ellipsis ergo est GPQK facta sectio in solido conoide hyperbolico, cuius diametri GK, PL. Quod fuit demonstrandum.

COROLLARIUM.

Unde, et hic similiter constat, quod si solidum hyperboles duobus parallelis planis modo praedicto secetur: factae sectiones erunt ellipses inter se similes.

Earum enim diametri maiores minoribus proportionales erunt, quandoquidem linearum tangentium, quibus aequidistant, proportionem sequentur, per 17. tertii conicorum.

SCHOLIUM.

Notandum tam in hac, quam in praecedenti descriptione, si per G punctum agatur linea aequidistans ipsi BH, quae sit GR per punctum vero K aequidistans ipsi BF, quae sit KR apud R concurrentes: tunc GR erit minor diameter ellipsis GK.

Namque triangulum KGR simile erit triangulo FHB propter aequidistantiam laterum correlativorum, et ideo fiet sicut KG ad GR sic FH ad HB: sed ostensum est, quod sicut FH ad HB, sic KL ad LP, et tota diameter KG ad duplum LP. Totam scilicet diametrum minorem. Igitur, sicut KG ad diametrum minorem, sic KG ad GR: quare GR aequalis diametro minori; quod est propositum.