PROPOSITIO XXIII.

Si conoides parabolicum plano secetur obliquo ad axem, et circumquaque coincidente curvae solidi superficiei; facta sectio ellipsis erit; cuius maior diameter erit linea quae communis sectio est plani secantis, cum parabola describente solidum, super quam secans planum erectum stat.

Esto solidum conoides descriptum a parabola ABC super axem BD circumlata; in qua linea deducatur GK oblique secans axem; et super GK erigatur planum erectum super planum ABC, et solidum ipsum secans. Aio quod facta in solido sectio erit ellipsis, cuius maior diameter est ipsa GK: ducatur enim ipsi GK aequidistans FE tangens parabolam in puncto F, et axi occurrens apud E, cui tangenti coincidat item BH tangens parabolam apud B verticem. Secetur GK per medium apud L, et in eadem GK punctum utcumque relictum O; et ducantur ad rectos axi ALC, MON lineae, super quas plana ad axem erecta solidum secent: eruntque per 17. huius, factae sectiones circuli, quorum diametri AC, MN, quorum circulorum communes sectiones cum plano per GK ducto sint lineae LP, OQ: itaque peripheria factae [S:243] sectionis ibit per puncta G, P, Q, K; et circuli dicti per ipsa P, Q puncta. Quibus peractis, facile astruitur propositum.

Nam per 17. tertii conicorum elementorum sicut est quadratum BH ad quadratum HF, hoc est sicut quadratum BH ad quadratum EH (nam per 35. primi conicorum ipsae BD, EB, et perinde ipsae HF, EH sunt aequales) sic est iam rectangulum ALC, hoc est quadratum PL ad quadratum KL, item sic rectangulum MON, hoc est quadratum OQ ad rectangulum GOK. Itaque si ponatur ellipsis maior diameter GK, minor autem semidiameter PL, iam ipsa O, Q erit ordinata in peripheria talis ellipsis ad diametrum GK. Et similiter ostendemus, quod sicut quadratum OQ ad rectangulum GOK servat proportionem quadrati PL ad quadratum KL, sic omnis alia ad diametrum GK ordinata servabit potentialiter ad contentum sub factis diametri portionibus eamdem rationem. Ellipsis igitur est GPQK facta sectio in solido conoide parabolico, cuius diametri GK, PL, et hoc fuit demonstrandum.

COROLLARIUM.

Et manifestum est praeterea, quod si solidum parabolicum duabus aequidistantibus planis modo praedicto secetur: factae sectiones erunt ellipses inter se similes.

Namque talium ellipsium diametri minores ad maiores potentialiter sequentur proportionem lineae BH, ad lineam HF, et perinde proportionales erunt, et ideo sectiones ipsae similes.