109AA - Equazioni ellittiche

2023-2024

Corso della Laurea Magistrale in Matematica

Università di Pisa


Questo corso è dedicato alla teoria delle equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico. I temi principali sono la regolarità ed il comportamento locale delle soluzioni; dimostereremo in particolare il teorema di De Giorgi (sulla regolarità Holder delle soluzioni) e le stime di Schauder. Useremo sia argomenti classici che strumenti moderni come formule di monotonia e tecniche di blow-up.

I prerequisiti sono i corsi di Analisi 3 e Spazi di Sobolev.

Il corso ha una durata di 42 ore e si terrà nel secondo semestre.

Orario


Giovedì 14:00 - 16:00 (aula O1) e venerdì 11:00 - 13:00 (aula N);

Esame


Esame orale classico.


Esame orale Equazioni Ellittiche 2023-2024.

Programma


Capitolo 1. Esistenza e proprietà globali delle soluzioni deboli
Formulazione debole di problemi ellittici.
Principio del massimo debole e teoremi di confronto.
Iterazione di De Giorgi e limitatezza delle soluzioni.
Limitatezza delle autofunzioni del Laplaciano con condizioni di Dirichlet.
Teorema della regolarità ellittica.

Capitolo 2. Proprietà della media e le sue conseguenze
Teoremi della media per soprasoluzioni e sottosoluzioni.
Regolarità interna delle funzioni armoniche.
Continuità Hölder delle soluzioni (all'interno e fino al bordo) via la proprietà della media.
Funzioni subarmoniche e le loro proprietà.
Stima del gradiente per le funzioni armoniche.
Teorema di Liouville.
Disuguaglianza di Harnack per le funzioni armoniche.
Bounded slope condition e regolarità Lipschitz delle funzioni armoniche fino al bordo.
Regolarità delle funzioni armoniche con dato Lipschitz al bordo.

Capitolo 3. Operatori ellittici in forma di divergenza
Disuguaglianza di Caccioppoli; oscillazione e continuità Hölder; teorema di De Giorgi.
Stime di Schauder.
Continuità Lipschitz delle soluzioni all'interno e fino al bordo. Metodo del blow-up.
Formule di monotonia e disuguaglianza epiperimetrica.
Differenziabilità delle soluzioni all'interno e fino al bordo.

Dispense


Capitolo 1. Parte 1. Soluzioni deboli - introduzione


Capitolo 1. Parte 2. Limitatezza delle soluzioni


Capitolo 1. Parte 3. Limitatezza delle autofunzioni con condizioni di Dirichlet


Capitolo 2. Parte 1. Teoremi della media per soprazoluzioni e sottosoluzioni


Capitolo 2. Parte 2. Regolarità Hölder all'interno


Capitolo 2. Parte 3. Regolarità Hölder fino al bordo


          Capitolo 2. Parte 3A. Una caratterizzazione dello spazio H01


Capitolo 2. Parte 4. Funzioni subarmoniche


Capitolo 2. Parte 5. Funzioni lipschitziane


Capitolo 2. Parte 6. Funzioni armoniche: esistenza e principio del massimo debole


          Capitolo 2. Parte 6A. Inf e sup di funzioni di Sobolev


Capitolo 2. Parte 7. Bounded slope condition


          Capitolo 2. Parte 7A. Stima del gradiente


Capitolo 2. Parte 8. Esempio di una funzione armonica con dato Lipschitz


          Capitolo 2. Parte 8A. Barriere dal basso e principio del massimo di Hopf


          Capitolo 2. Parte 8B. Riflessione di soluzioni di PDE


Capitolo 3. Parte 1. Cambio di coordinate e PDE in forma di divergenza


Capitolo 3. Parte 2. Decadimento dell'oscillazione e continuità Hölder


          Capitolo 3. Parte 2A. Disuguaglianza di Harnack e decadimento dell'oscillazione


Capitolo 3. Parte 3. Teorema di De Giorgi

Registro
delle lezioni


Lezione 1 - giovedì 29/02/2024, dalle 14:00 alle 16:00.
Introduzione al corso. Soluzioni deboli di problemi ellittici in forma di divergenza.
Dispense: Capitolo 1. Parte 1.


Lezione 2 - venerdì 01/03/2024, dalle 11:00 alle 13:00.
Iterazione di De Giorgi. Limitatezza delle soluzioni di PDE ellittiche con condizioni di Dirichlet. Limitatezza delle autofunzioni con condizioni di Dirichlet.


Lezione 3 - giovedì 07/03/2024, dalle 14:00 alle 16:00.
Spazi di Sobolev su aperti con la stima di densità esterna - caratterizzazione e approssimazione con soluzioni di PDE ellittiche.


Lezione 4 - venerdì 08/03/2024, dalle 11:00 alle 13:00.
Sottosoluziono e soprasoluzioni, funzioni subarmoniche e superarmoniche. Approssimazione con funzioni continue. Teorema della media. Punti di Lebesgue e definizione puntuale.


Lezione 5 - giovedì 14/03/2024, dalle 14:00 alle 16:00.
Regolarità Holder interna.


Lezione 6 - venerdì 15/03/2024, dalle 11:00 alle 13:00.
Regolarità Holder fino al bordo per soluzioni su aperti con la stima di densità esterna.


Lezione 7 - giovedì 21/03/2024, dalle 14:00 alle 16:00.
Funzioni subarmoniche - definizioni equivalenti: proprietà della media e funzioni subarmoniche in senso delle distribuzioni. Punti di Lebesgue, definizione puntuale e semicontinuità. Esempio di una funzione subarmonica con energia finita e con valore inifinito in zero.


Lezione 8 - venerdì 22/03/2024, dalle 11:00 alle 13:00.
Funzioni olomorfe e funzioni subarmoniche - il logaritmo del modulo di una funzione olomorfa è una funzione subarmonica. Teorema della regolarità ellittica interna.


Lezione 9 - giovedì 28/03/2024, dalle 14:00 alle 16:00.
Funzioni armoniche. Esistenza, unicità, principio del massimo debole. Bounded slope condition.


Lezione 10 - giovedì 18/04/2024, dalle 14:00 alle 16:00.
Bounded slope condition e continuità Lipschitz fino al bordo. Principio del massimo forte. Stima del gradiente e teorema di Lioville. Esempio di una funzione armonica con dato Lipschitz che non è lipschitziana fino al bordo - parte 1.


Lezione 11 - venerdì 19/04/2024, dalle 11:00 alle 13:00.
Esempio di una funzione armonica con dato Lipschitz che non è lipschitziana fino al bordo - parte 2. Cambio di coordinate in PDE ellittiche - riflessione e raddrizzamento del bordo; problemi ellittici in forma di divergenza.


Lezione 12 - venerdì 26/04/2024, dalle 11:00 alle 13:00.
Teorema di De Giorgi - enunciato. Oscillazione e continuità Hölder. Disuguaglianza di Harnack per le funzioni armoniche e decadimento dell'oscillazione.


Lezione 13 - giovedì 02/05/2024, dalle 14:00 alle 16:00.
Teorema di De Giorgi - parte 1 - stima L2.


Lezione 14 - venerdì 03/05/2024, dalle 11:00 alle 13:00.
Teorema di De Giorgi - parte 2 - conclusione.


Lezione 15 - giovedì 09/05/2024, dalle 14:00 alle 16:00.
Stime di Schauder - enunciato; lemma di cambio di coordinate.


Lezione 16 - venerdì 17/05/2024, dalle 11:00 alle 13:00.
Stime di Schauder - quasi-minimalità delle soluzioni; stime Lipschitz all'interno e fino al bordo. Formula di Bochner per le funzioni armoniche.


Lezione 17 - giovedì 23/05/2024, dalle 14:00 alle 16:00.
Riscalamenti 1-omogenei e blow-up di soluzioni di equazioni in forma di divergenza con coefficienti Holder. I blow-up sono funzioni armoniche. I blow-up sono funzioni lineari. Unicità del blow-up e differenziabilità delle soluzioni.


Lezione 18 - venerdì 24/05/2024, dalle 11:00 alle 13:00.
Continuità Holder del gradiente delle soluzioni di equazioni in forma di divergenza con coefficienti Holder: decadimento dell'eccesso.


Lezione 19 - giovedì 30/05/2024, dalle 14:00 alle 16:00.
Spazi di Sobolev sulla sfera. Autovalori e autofunzioni del operatore di Laplace-Beltrami - armoniche sferiche. Funzioni armoniche omogenee ed autofunzioni sulla sfera; le armoniche sferiche sono tracce di polinomi armonici.


Lezione 20 - venerdì 31/05/2024, dalle 11:00 alle 13:00.
Caratterizzazione delle tracce di funzioni di Sobolev tramite i coefficienti di Fourier. Disuguaglianza epiperimetrica. Formula di Weiss.


Lezione 21 - recupero della lezione di venerdì 10/05/2024, 11:00-13:00.
Stime di Schauder - regolarità Holder del gradiente via la disuguaglianza epiperimetrica.

Bozhidar Velichkov

bozhidar.velichkov[chiocciola]unipi.it