Lezione 1 - giovedì 29/02/2024, dalle 14:00 alle 16:00.
Introduzione al corso. Soluzioni deboli di problemi ellittici in forma di divergenza.
Dispense: Capitolo 1. Parte 1.
Lezione 2 - venerdì 01/03/2024, dalle 11:00 alle 13:00.
Iterazione di De Giorgi. Limitatezza delle soluzioni di PDE ellittiche con condizioni di Dirichlet.
Limitatezza delle autofunzioni con condizioni di Dirichlet.
Lezione 3 - giovedì 07/03/2024, dalle 14:00 alle 16:00.
Spazi di Sobolev su aperti con la stima di densità esterna -
caratterizzazione e approssimazione con soluzioni di PDE ellittiche.
Lezione 4 - venerdì 08/03/2024, dalle 11:00 alle 13:00.
Sottosoluziono e soprasoluzioni, funzioni subarmoniche e superarmoniche.
Approssimazione con funzioni continue. Teorema della media.
Punti di Lebesgue e definizione puntuale.
Lezione 5 - giovedì 14/03/2024, dalle 14:00 alle 16:00.
Regolarità Holder interna.
Lezione 6 - venerdì 15/03/2024, dalle 11:00 alle 13:00.
Regolarità Holder fino al bordo per soluzioni su aperti con la stima di densità esterna.
Lezione 7 - giovedì 21/03/2024, dalle 14:00 alle 16:00.
Funzioni subarmoniche - definizioni equivalenti: proprietà della media e funzioni subarmoniche in senso delle distribuzioni.
Punti di Lebesgue, definizione puntuale e semicontinuità.
Esempio di una funzione subarmonica con energia finita e con valore inifinito in zero.
Lezione 8 - venerdì 22/03/2024, dalle 11:00 alle 13:00.
Funzioni olomorfe e funzioni subarmoniche - il logaritmo del modulo di una funzione olomorfa è una funzione subarmonica.
Teorema della regolarità ellittica interna.
Lezione 9 - giovedì 28/03/2024, dalle 14:00 alle 16:00.
Funzioni armoniche. Esistenza, unicità, principio del massimo debole.
Bounded slope condition.
Lezione 10 - giovedì 18/04/2024, dalle 14:00 alle 16:00.
Bounded slope condition e continuità Lipschitz fino al bordo. Principio del massimo forte.
Stima del gradiente e teorema di Lioville. Esempio di una funzione armonica con dato Lipschitz che non è lipschitziana fino al bordo - parte 1.
Lezione 11 - venerdì 19/04/2024, dalle 11:00 alle 13:00.
Esempio di una funzione armonica con dato Lipschitz che non è lipschitziana fino al bordo - parte 2.
Cambio di coordinate in PDE ellittiche - riflessione e raddrizzamento del bordo; problemi ellittici in forma di divergenza.
Lezione 12 - venerdì 26/04/2024, dalle 11:00 alle 13:00.
Teorema di De Giorgi - enunciato. Oscillazione e continuità Hölder.
Disuguaglianza di Harnack per le funzioni armoniche e decadimento dell'oscillazione.
Lezione 13 - giovedì 02/05/2024, dalle 14:00 alle 16:00.
Teorema di De Giorgi - parte 1 - stima L2.
Lezione 14 - venerdì 03/05/2024, dalle 11:00 alle 13:00.
Teorema di De Giorgi - parte 2 - conclusione.
Lezione 15 - giovedì 09/05/2024, dalle 14:00 alle 16:00.
Stime di Schauder - enunciato; lemma di cambio di coordinate.
Lezione 16 - venerdì 17/05/2024, dalle 11:00 alle 13:00.
Stime di Schauder - quasi-minimalità delle soluzioni; stime Lipschitz all'interno e fino al bordo.
Formula di Bochner per le funzioni armoniche.
Lezione 17 - giovedì 23/05/2024, dalle 14:00 alle 16:00.
Riscalamenti 1-omogenei e blow-up di soluzioni di equazioni in forma di divergenza con coefficienti Holder.
I blow-up sono funzioni armoniche. I blow-up sono funzioni lineari. Unicità del blow-up e differenziabilità delle soluzioni.
Lezione 18 - venerdì 24/05/2024, dalle 11:00 alle 13:00.
Continuità Holder del gradiente delle soluzioni di equazioni in forma di divergenza con coefficienti Holder: decadimento dell'eccesso.
Lezione 19 - giovedì 30/05/2024, dalle 14:00 alle 16:00.
Spazi di Sobolev sulla sfera.
Autovalori e autofunzioni del operatore di Laplace-Beltrami - armoniche sferiche.
Funzioni armoniche omogenee ed autofunzioni sulla sfera;
le armoniche sferiche sono tracce di polinomi armonici.
Lezione 20 - venerdì 31/05/2024, dalle 11:00 alle 13:00.
Caratterizzazione delle tracce di funzioni di Sobolev tramite i coefficienti di Fourier.
Disuguaglianza epiperimetrica. Formula di Weiss.
Lezione 21 - recupero della lezione di venerdì 10/05/2024, 11:00-13:00.
Stime di Schauder - regolarità Holder del gradiente via la disuguaglianza epiperimetrica.