PROPOSITIO XLVIIII

300 Quod 29^a huius proposuit, aliter ostendere.

301 In ipsa 29 descriptione sit ut ibi supponitur, sinus arcus fb medius proportionalis inter sinum totum sinumque arcus fe. Demonstrandum est rursus quod arcuum ab ac differentia maxima est differentiarum, quibus differunt arcus angulum a continentes ab ipso angulo ad perpendiculares arcus terminanti. 302 Nam cum sinus arcus fb sit medius proportionalis inter sinum totum sinumque arcus fe erit per 16^m sexti Euclidis, quadratum quod ex sinu arcus fb aequale quadrangulo quod ex sinu toto sinumque arcus fe. 303 Minus est autem quadratum sinus [S:53r]arcus fb quadrangulo ex sinibus arcuum fb fg producto. Igitur et quadrangulum quod ex sinu toto sinuque arcus fe minus erit quadrangulum ex sinibus arcuum fb fg producto. 304 Verum per 34^m huius, sicut quadrangulum quod ex sinu toto sinuque arcus fe ad quadrangulum ex sinibus arcuum fb fg productum, sic sinus arcus hc ad sinum arcus bg. Ergo sinus arcus hc minor erit sinu arcus bg, quare et arcus hc minor arcu bg. Et idcirco maior erit differentia arcuum ab ac quam differentia arcuum ag ah. 305 Similiter omnino ostendemus quod arcus nh minor erit arcu gm et perinde differentia arcuum ag ah maior quam differentia arcuum am an. 306 Rursus quoniam quadrangulum⁷¹ ex sinibus arcuum fb fl factum minus est quadrato quod ex sinu arcus⁷² fb et ideo minus quadrangulo quod ex sinu toto sinuque arcus fe. Sicut per 34^m huius, sicut quadrangulum quod ex sinu toto sinuque arcus fe ad quadrangulum quod ex sinibus arcuum fb fl sic sinus arcus ck ad sinum arcus bl. Ergo sinus arcus ck maior erit sinu arcus bl et ideo arcus ck maior arcu bl. Quo sit ut maior sit differentia arcuum ab ae quam differentia arcuum al ak. 307 Et per eandem ostendemus quod arcus kp maior est arcu lq. Et perinde differentia arcuum al⁷³ ak maior quam differentia arcuum ap aq. 308 Unde sequitur ut inter differentias arcuum ab angulo a ad perpendiculares receptorum, ipsa arcuum ab ac differentia sit maxima. Quod proponebatur demonstrandum.