[A:113r]43^a206 Si hyperbole alteram contrapositarum ad duo puncta tangat: contraposita ipsius alteri contrapositarum non coincidet.

[S:147] Sint contrapositae adb et e. // Et hyperbole agb tangat ipsam adb ad duo puncta a b. // Sitque z contraposita ipsius ag. // Dico iam quod z sectio non coincidet ipsi e sectioni. // Quod sic demonstratur. // Coniungantur a b tactus. // Et ducantur ah bh tangentes: quae, per 24^am primi Conicorum coincident, utpote apud h punctum. // Sectaque per medium ab apud t coniungatur th quae, per 29^am 2ⁱ Conicorum, diameter est, secans periferias sectionum apud d g z e puncta. // In qua quidem diametro centrum sectionum agb z sit punctum f²⁰⁷. // Centrum autem sectionum adb e sit punctum k. // Sunt enim diversa ipsae centra, per 27^am huius. // Et, quoniam, per 37^am primi Conicorum, tkh²⁰⁸ est aequale kd. Itemque tlh²⁰⁹ aequale lg. // Ideo maius kd quam lg. // Et perinde maior semidiameter kd semidiametro lg. // Est enim hyperboles adb centrum k hyperboles vero agb centrum l quippe quod interiacet punctis k h sicut mox in scholio demonstrabitur.

// Itaque semidiameter ke similiter maior erit semidiametro lz eodem excessu quo semidiametri compares differebant, hoc est in aggregato linearum kl gd. // Igitur le maior erit quam lz in aggregato ex duplo kl et ex gd²¹⁰. // Quare linea²¹¹ ze quae est talis excessus,²¹² aequalis est ipsi gd simul cum duplo ipsius kl. // Cum ergo hyperbole z magis distet ab hyperbola e quam distat²¹³ hyperbole agb contraposita ipsius z ab hyperbola adb²¹⁴ extra ipsam procedens. // Sequitur ut z hyperbole nequaquam attingat hyperbolen e. // Quemadmodum, si hyperboles agb summitas g distaret per maius spatium, quam gd ab ipsa adb hyperbole, nequaquam ipsam tangeret: sed omniquaque ab ea magis²¹⁵ segregaretur. // Et hoc fuit demonstrandum.

Scholium

Demonstratio praesentis 43^ae216 propositionis, quae in exemplari veteri, non erat satis: cum iam inniteretur 36^ae primi Conicorum, quae loquitur de diametro tantum, et linea ducta per concursum tangentium rectarum [A:113v] ad coincidentiam contrapositarum, per adversarium obiectam, plerumque non esset diameter, cum extra²¹⁷ unum aut utrumque centrorum²¹⁸ ad libitum adversarii posset incedere.

// Et ob id necesse fuit aliter, sicut fecimus, rem demonstrare. // Superest nunc ostendere, ad complementum demonstrationis, quod l²¹⁹ centrum contrapositarum agb z interiacet punctis h k hoc est, quod cum hyperbole agb tangat in punctis a b hyperbolen adb intrinsecus constitutam, sitque, ut ostensum est, talium sectionum communis diameter tdghlk et earum centra diversa l k. // Centrum ipsum l hyperboles agb exterioris, est inter punctum h concursus rectarum ah hb tangentium utramque sectionem apud a b et inter punctum k centrum hyperboles adb interioris. // Quod hoc pacto demonstrabitur. // Producantur ipsae ga da periferiae: sintque gao dax exterior enim erit periferia gao ipsa vero dax interior: sic enim sese contingunt hyperbole apud a b puncta, ut unius periferia includat alterius periferiam.

// Ducantur itaque rectae aequidistantes per tactus a b ut contingit, ipsae amn bxo secebunt utique hyperbolarum periferias diversis in locis: cum periferiae necubi coincidant, quam in punctis a b. // Secent itaque apud m n x o puncta. // Et ipsae an ob paralleli in hyperbola exteriori oagb secentur bifariam apud p r puncta: item ipsae am bx paralleli in hyperbola interiori xadb singulae bifariam secentur apud s y puncta: // eritque punctum s vicinius puncto a quam punctum p nec non punctum y vicinius punctum b quam punctum r. // Quamobrem lineae rp ys se invicem secabunt inter aequidistantes: // sed cum per 28^am secundi Conicorum rp sit diameter sectionis oagb atque ys diameter sectionis xadb utraque iam ipsarum rp ys producta concurret ipsi thk quae diameter fuit utriusque sectionis: // concurret autem prius rp quoniam secat ipsam ys inter aequidistantes: posterius autem ys. // Sed rp concurrit apud punctum l²²⁰ quod centrum ponitur hyperboles oagb. // Ipsa vero ys concurrit apud punctum k quod centrum subiicitur²²¹ hyperboles xadb. // Igitur l punctum vicinius est puncto h quam punctum k. // Quod iam assumpsimus demonstrandum.