[A:27v] 45^a Si hyperbolen, vel ellipsim, vel circuli periferiam linea tangens coincidat secundae diametro: et a tactu ducatur quaedam linea ad⁶⁴⁸ eandem⁶⁴⁹ diametrum aequidistans⁶⁵⁰ alteri diametro: et per centrum et tactum linea producatur⁶⁵¹: et a relicto, ut contingit, in sectione puncto agantur⁶⁵² duae lineae ad secundam diametrum, haec quidem penes⁶⁵³ tangentem: illa vero penes⁶⁵⁴ aequidistantem diametro; factum sub ipsis triangulum maius erit⁶⁵⁵ quam triangulum abscisum⁶⁵⁶ a producta per centrum tactumque, in triangulo, cuius basis tangens, summitas autem centrum sectionis, in hyperbole: at⁶⁵⁷ in ellipsi⁶⁵⁸ et circulo, factum sub iisdem actis triangulum, cum // triangulo absciso⁶⁵⁹, aequale est triangulo, cuius basis tangens, summitasque⁶⁶⁰ centrum sectionis.

Sit hyperbola, ellipsis, vel circulus abg. // Cuius prima diametros at. // Altera td. // Centrum t. // Tangens lgm. // Tactus punctum g. // Ipsa gd aequidistans⁶⁶¹ ipsi at. // Et⁶⁶² coniuncta gt. // A quovis relicto in periferia⁶⁶³ puncto b agantur duae lineae usque ad td⁶⁶⁴ productam, quae [[sunt]]⁶⁶⁵ be penes⁶⁶⁶ ipsam lgm⁶⁶⁷ tangentem: et bz penes⁶⁶⁸ ipsam gd in[S:38]cidens ipsi gt apud h punctum.

// Dico iam quod in hyperbola bez aequale est htz lgt simul .

In ellipsi autem et circulo lgt aequale est bez htz simul .

// Ducantur enim gc bn penes⁶⁶⁹ ipsam dt ordinate scilicet ductae, namque⁶⁷⁰ secunda diametros semper est ex numero ordinate ductarum ad primam.

// Eritque per 19^am671 huius ratio gc ct composita ex duabus rationibus⁶⁷² 7 [[sic]]

rectae transversam cm gc vel gd dl vel td dg propter similtudinem

.

// Verum [A:28r] gdl est species⁶⁷³ ex ct // Atque gct vel gdt est species⁶⁷⁴ ex gc sive dt.

// Igitur per 41^am huius, quandoquidem [[quod]]⁶⁷⁵ ibi affirmantur de parallelogrammis, idem sequitur⁶⁷⁶ de triangulis, quae sub illis⁶⁷⁷ assignata⁶⁷⁸ conditione sunt parallelogrammorum dimidia.

// In hyperbole quidem gdl aequale erit gct vel gdt ex ipsa at simili lo dgl .

// In ellipsi autem et circulo gdt vel [[gct]] gdl simul

aequalia sunt ^lo ex ipsa at simili ^lo dgl

// Sed in hyperbola gdl aequum est dgt tgl simul .

// In ellipsi autem

et circulo

dgt gdl simul aequalia sunt tgl .

// Igitur utrobique tgl aequale est ^lo ex at simili gdl.

// Et quoniam propter aequidistantiam linearum bze simile^{679 lo} gdl et hzt simile ^lo gdt ideo, sicut td dg sic tz zh et sicut gd dl sic bz ze.

// Quare sicut ratio td dg componitur ex rationibus rectae transversam gd dl .

// Ita nunc ratio tz zh componitur ex rationibus rectae transversam bz ze

fitque bze ex ipsa nt et hzt ex ipsa bn hoc est tz.

// Rursum ergo per 41^am huius, in hyperbola bze aequale est

hzt ex ipsa at simili lo gdl

quanta est area tgl.

//

In ellipsi autem et circulo

bze hzt

simul aequalia⁶⁸⁰ sunt ex ipsa at, simili gdl⁶⁸¹ et perinde ^lo tgl. // Sicut fuit demonstrandum.

Scholium

Oportuit⁶⁸² tam hyperboles, quam, ellipseos et circuli descriptionem tripliciter variari⁶⁸³ pro vario situ puncti b utcumque relicti.