PROPOSITIO XLII.

Datis duobus quibuscunque solidis, esse aliquod solidum uni eorum simile, et alteri aequale.

Esto, exempli gratia, solidum quodlibet A, et conus BED super basim, cuius diameter BD. Demonstrabo iam, conum aliquem esse cono BED similem, et solido dato A aequalem; sit enim per 33. huius, sicut conus BED ad solidum A, sic cubus lineae BD ad cubum lineae cuiuspiam CF, et super circulum CF conus CGF erigatur similis cono BED; eritque per 35. huius, conus BED ad conum CGF, sicut cubus BD ad cubum CF, et [S:23] ideo sicut conus BED ad solidum A; eandem ergo rationem cum habeat conus BED ad solidum A, quam et ad conum CGF, aequalis erit iam conus CGF solido A. Constat igitur propositum. Quod si super basim, cuius diameter BD cylindrus supponatur: similiter, et per 30. et 33. huius, cylindrum GCF similem cylindro EBD, et aequalem solido A, esse demonstrabimus, idem quoque per 33. et 36. pro conis-coluris: per 37. pro tornatilibus solidis: per 39. pro sphaeralibus cuneis: per 40. pro sphaericis portionibus efficiemus. Non aliter de cubis, aut prismatibus, aut pyramidibus, aut parallelepipedis, aut polyhedris regularibus, sive irregularibus solidis propositum constabit: quandoquidem, ut in Elementorum 12. ostensum est, similia solida semper sunt cubis correlativorum laterum proportionalia.