PROPOSITIO XXXVIII.

Sphaerae sunt cubis diametrorum proportionales.

Sint duae sphaerae AIB, et CKD, quarum diametri AB, CD; sitque per 33. huius, sicut sphaera AIB ad sphaeram CKD; sic cubus AB ad cubum alicuius lineae EF, et demonstrandum erit, quod linea EF aequalis erit lineae CD: nam secus, erit aut maior, aut minor.

Si linea EF maior sit quam linea CD intelligatur sphaera ELF concentrica sphaerae CKD, et per 13.12. Euclidis et per figuram planam multiangulam, inscribatur sphaerae ELF solidum tornatile ENF cuius superficies minime tangat sphaeram CKD, et ei simile solidum AMB inscribatur sphaerae AIB; eritque per praecedentem sicut cubus AB ad cubum EF, sic solidum tornatile AMB ad solidum tornatile ENF, quare sicut solidum AMB ad solidum ENF, sic sphaera AIB ad sphaeram CKD, et permutatim, sicut solidum AMB ad sphaeram AIB, sic solidum ENF ad sphaeram CKD: sed maior sphaera AIB solido AMB per quintum postulatum; ergo, et sphaera CKD maior solido ENF, quod est impossibile, per dictum postulatum. Non ergo est maior linea EF diametro CD. Si autem minor; tunc conversim erit, sicut sphaera CKD ad sphaeram AIB, sic cubus EF ad cubum AB. Sit ergo per 33. huius, sicut cubus EF ad cubum AB, sic cubus CD ad cubum GH, eritque sicut cubus CD ad cubum GH, sic sphaera CKD ad sphaeram AIB. Et quoniam CD est maior, quam EF, ideo per praemissam, et 14. quinti, GH maior erit, quam AB: unde sequitur idem impossibile, ut scilicet sphaerae primae ad sphaeram secundam ratio sit, sicut solidum inscriptum primae ad solidum lineae maioris secunda diametro. Non est ergo minor linea EF diametro CD, sed nec maior fuit: aequalis ergo. Quod fuit demonstrandum.