PROPOSITIO X.

Circuli sunt quadratis diametrorum proportionales.

Sunto circuli AIB, CKD, quorum diametri AB, CD, sitque sicut circulus AIB, ad circulum CKD, sic quadratum AB ad quadratum lineae EF, per septimam huius. Et demonstrandum erit, quod linea EF aequalis est lineae CD. Nam secus est maior, aut minor: si linea EF maior, quam linea CD, tunc fiant eadem, quae in praemissa 8. Eritque sicut quadratum AB ad quadratum EF, sic figura AMB ad figuram ENF; et ideo sicut circulus AIB ad circulum CKD, et permutatim, sicut figura AMB ad circulum AIB, sic figura ENF ad circulum CKD; maior est autem per 3. postulatum, circulus AIB, quam figura AMB. Ergo maior circulus CKD, quam figura ENF, quod est impossibile per dictum postulatum. Non est ergo maior linea EF, quam linea CD. Si autem minor, tunc con[S:7]versim erit sicut circulus CKD ad circulum AIB, sic quadratum EF ad quadratum AB, sit ergo per septimam sicut quadratum EF ad quadratum AB, sic quadratum CD ad quadratum GH, eritque sicut quadratum CD ad quadratum GH, sic circulus CKD ad circulum AIB, et quoniam CD maior, quam EF, iam per 14.5. GH maior, quam AB. Unde sequitur idem impossibile: ut scilicet circuli primi ad circulum secundum ratio sit ut quadratum primae diametri ad quadratum lineae maioris secunda diametro. Non est ergo minor linea EF, quam linea CD, sed nec maior fuit: aequalis est ergo: quod fuit demonstrandum.