3a Si cylindrus plano secetur parallelo ei, quod per axem parallelogrammo sectio parallelogrammum erit aequiangulum ei, quod per axem.
Sit cylindrus, cuius bases, qui circum a b centra circuli, axisque ab per quem axem parallelogrammum cd per praecedentem4 cui parallelum ducatur planum faciens in cylindro sectionem efhg; aio quod sectio efhg parallelogrammum est et ipsi cd parallelogrammo aequiangulum.
Nam per 3am 11i ipsae ef gh sunt rectae: ducatur ergo ipsi ef perpendicularis bk et producatur planum, in quo ab bk cuius cum plano eh communis sectio sit recta kl cum basis vero cgh plano communis sectio al eritque per 16am 11i ipsum abkl parallelogrammum; quare bk aequalis al per 34am primi et etiam parallelus, sed per 16am 11i kf hl paralleli. Ergo per 10am eiusdem, anguli bkf alh aequales: quare angulus alh rectus; itaque per 13am 3ii ipsae ef gh aequales et per 3am eiusdem ipsae kf lh aequales sed etiam paralleli et ipsae bk al aequales et paralleli; ergo per primam huius, ipsaebf ah aequales et paralleli; quare per 7am 11i ha ab bf rectae sunt in uno plano, tale ergo planum est per axem ab. Sit ergo ipsius et cylindricae superficiei communis sectio recta fh quandoquidem5 per praecedentem tale planum facit in cylindro parallelogrammum eritque recta fh communis sectio planorum kh lf quare et eadem erit communis sectio plani eh et cylindricae superficiei. Non aliter ostendam quod eg recta est, sed ef gh sunt paralleli et aequales, ergo per 33am primi eg fh paralleli et aequales: quare eh parallelogrammum: aio quod et aequiangulum ipsi cd parallelogrammo: nam cum bd bf ipsis ma ah sint paralleli et aequales singulae singulis erunt per primam huius et ipsae df mh paralleli et aequales. Quare per 33am primi et ipsae dm6 fh paralleli et aequales: sed ef bd7 per 16am 11i paralleli; ergo per 10am eiusdem anguli bdm efh aequales: itaque parallelogrammum est eh et ipsi cd parallelogrammo aequiangulum. Quod est propositum.
Corollarium
Manifestum est ergo quod parallelogrammi in cylindro per axem sive ei, quod per axem paralleli latera aequidistant et aequalia sunt8 axi cylindrico.
Nam quod dm aequidistat ipsi ab patet per 33am primi. Sed fh ostensum fuit aequidistare ipsi dm ergo per 9am 11i fh aequidistat ipsi ab axi.