Propositio 80^a

379 Binomia, quorum radices habent invicem proportionalia et commensurabilia nomina, sortiuntur quoque proportionalia inter se, et commensurabilia nomina.

Sint, exempli gratia, abc def binomia tertia, quorum maiora membra ab de, minora vero bc ef. 380 Deinde sumantur horum binomiorum radices, sitque ipsius abc radix ghk, et ipsius def radix lmn per quinquagesimam septimam huius; eruntque per eandem ghk lmn bimedialia secunda. Sint ergo talium bimedialium membra, maiora quidem gh lm, minora vero hk mn. Et supponatur ut gh ipsi lm, atque hk ipsi mn comparatum, proportionalia sint, et commensurabilia. 381 Dico hinc, quod et [C:149v] binomiorum abc def ipsum membrum ab ipsi de atque ipsum bc ipsi ef comparatum, proportionalia sunt, et commensurabilia. Quod sic ostenditur. Quoniam quantitates gk ln habent membra commensurabilia et proportionalia, maius maiori, et minus minori, erunt coniunctim et totum toti proportionalia et, per quadragesimam octavam huius, commensurabilia. 382 Igitur, per quinquagesimam secundam huius, ipsorum gk³³⁰ ln quadrata scilicet ac df erunt sicut numerus quadratus ad numerum quadratum inter se, et ideo commensurabilia; et idcirco per sexa[S:153]gesimam quartam, habebunt membra invicem proportionalia et commensurabilia, scilicet ab ipsi de atque bc ipsi ef; quod est propositum. Similiter in caeteris binomiis, et eorum radicibus constabit id, quod demonstrandum proponitur.