Propositio 32^a

197 Si secundum duos terminos sumantur¹⁹¹ quotlibet quantitates continue proportionales, quarum extremas¹⁹² multiplicent ipsi termini: tunc productorum differentia divisa inter minorum differentiam, exhibet aggregatum ipsarum quantitatum.

198 Sunto duo termini, exempli gratia, numeri 2 et 5, quorum quadrati 4 et 25¹⁹³ cubi autem 8 et 125 secundi quadrati 16 et 625; quadratis autem intersit medius proportionalis 10 cubis duo medii proportionales 20 et 50 secundis quadratis tres medii proportionales 40 100 250, qui singuli producuntur ex ductu terminorum in se, et ad invicem, et inde in singulos secundi, et tertii ordinis numeros, (ut assolet) multiplicatorum. 199 In horum tertio ordine sunt quatuor numeri continue proportionales scilicet 8 20 50 125, in quorum extremos 8 et 125 multiplicati termini 2 et 5 producunt 16 et 625 [S:118] quorum differentia est 609. Aio, quod huiusmodi differentia divisa in differentiam ipsorum [C:118v] 2 et 5 hoc est in 3 exhibet aggregatum dictorum quatuor numerorum continue proportionalium, scilicet 8 20 50 125; quod sic ostenditur. 200 Quoniam 2 ductus in se facit 4 ductus in 5 facit 10; iam idem 2 in 3 quae differentia est ipsorum 2 et 5 producet differentiam ipsorum 4 et 10 productorum: quoniam multiplicator ductus in differentiam multiplicatorum producit differentiam productorum. Item quoniam 5 in 2 facit 10 et in se facit 25; iam et idem 5 in 3 faciet differentiam ipsorum 10 et 25. Simili ratione, quoniam 2 in 4 facit 8 et 5 in 4 facit 20 (propter proportionalitatem numerorum) ideo 4 in differentiam dictam ipsorum 2 et 5 scilicet in 3 faciet differentiam ipsorum 8 et 20. 201 Non aliter deinceps ostendam, quod dicta terminorum 2 et 5 differentia multiplicata in 10 facit differentiam ipsorum 20 et 50, multiplicata quoque in 25 facit differentiam ipsorum 50 et 125. Quamobrem eadem terminorum differentia multiplicata in aggregatum ipsorum 4 10 25 faciet aggregatum trium differentiarum dictarum, scilicet ipsorum 8 et 20 ipsorum 20 et 50 ipsorum 50 et 125. Sed tres tales differentiae coniunctae componunt extremorum 8 et 125 differentiam. 202 Igitur dicta terminorum differentia multiplicata in aggregatum [C:119r] ipsorum 4 10 25 producet differentiam ipsorum 8 et 125 extremorum. Quare, et talis extremorum 8 et 125 (quae sunt producta ex terminis in 4 et 25 multiplicatis) differentia divisa in terminorum differentiam exhibebit dictum ipsorum 4 10 25 continue proportionalium aggregatum; sicut propositio concludit. 203 Adhuc per eadem omnino demonstrabimus, quod ipsa terminorum differentia multiplicata in singulos 8 20 50 125 tertii ordinis numeros, producet singulas quatuor sequentis ordinis numerorum differentias: et perinde eadem terminorum differentia multiplicata in aggregatum ipsorum 8 20 50 125 producet aggregatum dictarum quatuor differentiarum sequentis ordinis: et ideo producet differentiam duorum extremorum 16 et 625 quae sunt producta ex ductu terminorum 2 et 5 in ipsos 8 et 125 extremos quatuor continue proportionalium. 204 Unde, et talium productorum differentia divisa in differentiam terminorum exhibebit aggregatum ipsorum 8 20 50 125 quatuor continue proportionalium numerorum; quod erat demonstrandum. Similiter pro caeteris terminis, aut proportionibus ostendam, quod proponitur.