Propositio 23^a

145 Si fuerint duo numeri in proportione cuborum numerorum, qui fiet ex uno eorum in quadratum reliqui, cubus erit.

Sunto¹⁴⁵ duo solidi numeri similes ad; tales enim, ut in octavo Elementorum ostensum est, habent adinvicem rationem, quam cubus numerus ad cubum numerum. Sitque ipsius a quadratus numerus e, et ex e in d fiat g. [C:108v] Aio, quod g cubus numerus est. 146 Nam per decimam octavam octavi Elementorum, ipsis ad intersunt duo numeri medii proportionales, qui sint bc. Sit itaque ipsius b quadratus ipse f et ex b in f fiat h qui cubus erit ipsius b. Ostendam igitur, quod g aequalis est ipsi h hoc modo. Ratio ipsius e ad ipsum f per undecimam octavi, est sicut ratio ipsius a ad ipsum b duplicata, quoniam scilicet ef sunt ipsorum ab quadrati. 147 Sed ratio b ad d est rationis a ad b duplicata. Igitur, sicut b ad d sic e ad f. Quare, per vigesimam¹⁴⁶ septimi, qui fit ex d in e hoc est ipse¹⁴⁷ g¹⁴⁸ aequalis est ei¹⁴⁹, qui fit ex b in f hoc est ipsi h. Cubus autem fuit h ipsius b ergo et g cubus idem erit. Quod est propositum.