Propositio 21^a

137 Si quantitas quaelibet in duo segmenta secetur, cubus, qui ex tota aequus¹³⁷ erit his, scilicet duobus cubis sectionum, et triplo eius, quod [S:107] fit ex quadrato utriusque in reliquam.

Sit ab quantitas, utcumque¹³⁸ in duo divisa, scilicet in a et in b. Dico, quod cubus totius¹³⁹ ab aequalis erit his, scilicet cubo ipsius a et cubo ipsius b et triplo eius, quod fit ex quadrato a in b necnon et triplo eius, quod fit ex quadrato b in a. [C:107r] 138 Quod sic ostendam. Per quartam secundi Elementorum, quadratum totius ab est aequum his, scilicet quadrato ipsius a quadrato ipsius b et duplo eius, quod fit ex a in b. Ergo, propter aequam utrobique multiplicationem, cubus ab aequalis erit his, scilicet ei, quod ex ab in quadratum ipsius a et ei, quod ex ab in quadratum ipsius b et duplo eius, quod ex ab in productum ex a in b. 139 Sed per¹⁴⁰ primam secundi Elementorum, quod fit ex quadrato ipsius a in ab aequum est his, scilicet ei, quod fit ex quadrato ipsius a in a scilicet cubo ipsius a et ei, quod fit ex quadrato ipsius a in b. Illud autem, quod fit ex quadrato ipsius b in totam ab aequum est his, scilicet ei, quod fit ex quadrato ipsius b in b scilicet cubo ipsius b et ei, quod fit ex quadrato ipsius b in a. 140 Item per primam secundi Elementorum, quod fit ex producto ipsarum ab in totam ab aequum est his scilicet ei, quod fit ex producto ipsarum ab in a et ei, quod fit ex eodem producto in b¹⁴¹. Sed quod fit ex producto ipsarum ab in a aequum est ei, quod fit ex quadrato ipsius a in b. Illud autem, quod fit ex producto ipsarum ab in b aequum est ei, quod fit ex quadrato ipsius b in a. Ergo quod fit ex producto ipsarum ab in totam ab aequum erit his, scilicet ei, quod fit ex [C:107v] quadrato ipsius a in b, et ei, quod fit ex quadrato ipsius b in a. 141 Quare et duplum eius, quod fit ex producto ipsarum ab in totam ab aequum erit his, scilicet duplo eius, quod fit ex quadrato ipsius a in b et duplo eius, quod fit ex quadrato ipsius b in a. Ergo commutatis aequalibus, cubus totius ab aequalis erit his, scilicet cubo ipsius a cubo ipsius b triplo eius, quod fit ex quadrato ipsius a in b, et triplo eius, quod fit ex quadrato ipsius b in a. Quod fuit demonstrandum.

Per 4^am secundi ab a b ab.

Ergo

cubus ab est aequus tribus solidis ab aa ab bb duploque ipsius ab ab

Sed per primam 2ⁱ cubus a et solidum a a b aequalia sunt solido a a ab.

Item cubus b et solidum b b a aequalia sunt solido b b ab.

Item solidum a b ab aequum est solidis a a b atque b b a.

Et ideo duplum illius aequum duplo horum.

Igitur

cubus ab aequatur cubo a cubo b triplo solidi a a b triplo solidi b b a