Propositio 98^a

446 Quadruplum dicti trianguli, uno intermisso praecedentis imparem, cum sexcuplo pyramidis quadratae centralis immediate dictum imparem praecedentis coniun[C:65r]ctum, conficit duo supplementa, quae singula fiunt ex ductu ipsius imparis in latus secundi quadrati praecedentis; 447 et coniuncta cum quadrato ipsius imparis constituunt gnomonem, qui coniunctus cum secundo quadrato praedicto, construit secundum quadratum sequentem, hoc est, ipsius imparis collateralem.

448 Intelligo secundos quadratos eos qui ex primis in se ductis fiunt: ut 16 est secundus quadratus binarii; 81 secundus quadratus ternarii; et sic deinceps. Itaque exponam primum, dein ostendam propositionem. Exponantur⁴⁸³ ab unitate sex numerorum series, scilicet radices, impares, trianguli primi, pyramides quadratae centrales, quadrati primi, et gnomones secundorum quadratorum, per ordinem continuati. 449 Quibus exaratis, iam in secundo loco, impar est 3; hic autem quadruplum trianguli nullum est: nam retro intermissa unitate, nullus est triangulus; pyramis hunc locum praecedens, est unitas, eius sexcuplus est senarius: qui solus facit hic duo supplementa 3 et 3 quae singula fiunt ex impare huius loci, scilicet ex 3 in latus secundi quadrati praecedentis, scilicet unitatis, hoc est in unitatem. 450 Et coniuncta cum quadrato dicti imparis, scilicet cum novem, conficiunt 15 gnomonem scilicet eiusdem loci, qui applicatus secundo quadrato praedicto, scilicet unitati, construit iam secundum quadratum sequentem, scilicet 16. 451 In tertio autem loco, [C:65v] impar est⁴⁸⁴ 5; quadruplum trianguli, uno retro intermisso, sumpti⁴⁸⁵, scilicet unitatis, est quatuor; pyramis praecedens est 6, cuius sexcuplum 36 quod cum 4 facit 40 quae sunt duo supplementa, scilicet 20 et 20, quae singula fiunt ex impare dicto, scilicet 5 in 4 latus secundi quadrati praecedentis, qui est 16, et coniuncta cum quadrato dicti imparis, scilicet cum 25, faciunt 65, gnomonem tertium, qui coniunctus cum secundo quadrato praedicto, scilicet 16, conflat iam secundum quadratum sequentem, scilicet 81. 452 In quarto deinde [S:63] loco, impar est 7, quadruplum trianguli uno retro intermisso sumpti⁴⁸⁶, scilicet ternarii, est 12; pyramis praecedens est 19, cuius sexcuplum 114, quod cum 12 facit 126, quae sunt duo supplementa, scilicet 63 et 63, quae singula fiunt ex impare dicto 7 in 9 latus scilicet secundi quadrati praecedentis, qui fuit 81, et coniuncta cum quadrato dicti⁴⁸⁷ imparis, scilicet 49, faciunt 175 gnomonem quartum, qui coniunctus secundo quadrato praedicto, scilicet 81, facit 256 secundum quadratum sequentem. 453 Adhuc in quinto loco, impar numerus est 9, quadruplum trianguli non immediate praecedentis, scilicet 6 est 24; 454 pyramis praecedens 44 cuius sexcuplum 264, quod⁴⁸⁸ cum 24 efficit 288⁴⁸⁹, quae sunt duo supplementa, scilicet 144 et 144⁴⁹⁰ quae singula fiunt ex impare dicto, scilicet 9 in 16, latus scilicet quadrati secundi praemissi, qui fuit 256 et coniuncta cum quadrato dicti imparis, scilicet cum 81 faciunt 369 gnomonem iungendum secundo quadrato praedicto, scilicet 256⁴⁹¹, ut conflet 625, quadratum secundum quinarii, qui sequitur, positus in praesenti loco. Sic pro sexto, septimo, et sequentibus locis in infinitum fit similiter seriatim procreando secundos radicum quadratos. 455 Sed demonstrandum quo pacto in singulis locis quadruplum trianguli, ex tertio retrorsum loco sumpti, cum sexcuplo pyramidis quadratae praecedentis coniunctum, facit dicta duo supplementa, sive (quod idem est) quod duplum talis trianguli cum triplo talis pyramidis coniunctum, facit unum tale supplementum, quod (ut dictum est) fit ex impare ipsius loci in latus secundi quadrati praecedentis; et proinde duo talia supplementa coniuncta cum quadrato dicti imparis, componunt gnomonem, qui iunctus cum secundo quadrato praedicto conficit secundum quadratum sequentem, imparique collateralem.

[S:64] [C:66v] 456 Verum in primo post unitatem loco, qui⁴⁹⁴ secundus appellatur, in quo (ut dixi) quadruplum⁴⁹⁵ trianguli⁴⁹⁶ nullum est, liquet quod triplum pyramidis praecedentis, scilicet 3, facit tale supplementum, quod scilicet fit ex impare huius loci, qui ternarius est, in latus secundi quadrati praecedentis, scilicet in unitatem; 457 et idcirco per quartam⁴⁹⁷ secundi Euclidis, duo huiusmodi supplementa coniuncta cum quadrato dicti imparis, scilicet 9, conficiunt 15 gnomonem scilicet eiusdem loci, qui appositus secundo quadrato praedicto, scilicet unitati, construit secundum quadratum sequentem, scilicet 16 collateralem ipsius imparis, cuius quidem latus est quadratus ipse⁴⁹⁸ primus⁴⁹⁹, scilicet 4 quoniam tale latus ex aggregatione constat unitatis et sequentis imparis, per decimam quintam huius libri. 458 In tertio loco id ipsum quoque ostendemus; in quo impar est 5, quadruplum trianguli 4, et pyramidis sexcuplum 36, et ideo trianguli duplum 2, pyramidis triplum 18. Quare hic ostendendum est quod 2 cum 18 faciunt 20 supplementum quod fit ex impare huius loci, scilicet 5, in latus secundi quadrati praecedentis, hoc est in 4 quod sic patet. 459 Nam columna quadrata centralis praecedentis loci, scilicet 10, cum duplo quadrati primi eiusdem loci, scilicet cum 8, per octogesimam huius, efficit triplum pyramidis eiusdem loci, quae⁵⁰⁰ fuit 6, hoc est 18. Cui numero [C:67r] addo 2 parte altera longiorem eiusdem loci, et fiunt 20. 460 Cumque 10 columna dicta⁵⁰¹ fiat ex radice eiusdem loci, scilicet 2 in quadratum centralem collateralem, scilicet in 5 atque ipse 5 constet ex quadrato primo collaterali et praecedenti, hoc est, ex 4 et 1, iam ipse 10 fit ex 2 in 4 et ex 2 in 1. <At 2 parte altera longior, fit ex 2 in 1. Ergo 2 qui fit ex 2 in 1⁵⁰²> coniunctus cum secundo parte altera longiore, hoc est totus 4, fiet⁵⁰³ ex 2 in 2 quod est aggregatum ex 1 et 1. 461 Sic habemus tria producta, scilicet 8 ex 2 in 4, quod fuit duplum quadrati cum columna coniunctum, item 8 ex⁵⁰⁴ 2 in 4 atque 4 ex 2 in 2, integrantia⁵⁰⁵ totum numerum 20; cumque ex toto numero 20 ipse octonarius contineat bis 4 et rursum 8 bis 4, demonstrandum est quod reliquum, scilicet 4, contineat semel ipsum 4 ut totus 20 contineat quinquies, scilicet secundum numerum imparem huius loci⁵⁰⁶, ipsum quatuor. 462 Quod iam ratione comprobatur: quoniam scilicet 4 fit ex radice secundi loci, hoc est, ex 2 in parte altera longiorem⁵⁰⁷ eiusdem loci, scilicet in 2. Et perinde factus adaequatur quadrato collaterali, scilicet 4, sicut et radix aequalis est ipsi parte altera longiori. 463 Produ [S:65] citur itaque in hoc loco 20, supplementum ex 5 in 4; et perinde⁵⁰⁸ duo talia supplementa, scilicet 20 et 20, coniuncta cum 25 quod est quadratum ipsius 5 imparis, fa[C:67v]ciunt gnomonem 65, qui coniunctus cum quadrato ipsius 4 scilicet cum 16, quadrato secundo praecedentis loci, scilicet secundi, constituit sequentem quadratum secundum, collateralem, scilicet huic loco tertio, qui est 81. 464 Nam per quartam secundi Euclidis, supplementa duo ex lateribus quadratorum duorum producta, una cum ipsis quadratis, componunt quadratum, cuius latus constat ex lateribus quadratorum componentium. Sed unum laterum talium fuit quadratus numerus, scilicet 4 et alterum fuit sequens impar, scilicet 5. 465 Ergo et compositus ex illis, per decimam quintam huius libri, erit quadratus sequens, scilicet 9, latus scilicet totalis quadrati; et perinde totalis quadratus erit quadratus secundus ternarii, scilicet 81 qui ex 9 in se fit. In quarto etiam loco nunc demonstrationem repetemus: in quo impar est 7, quadruplum trianguli est 12, sexcuplum pyramidis 114; et ideo <duplum⁵⁰⁹> trianguli 6, triplum pyramidis 57. 466 Quare hic ostendendum est quod⁵¹⁰ 6 cum 57 efficit 63 supplementum, quod fit ex impare huius loci, scilicet 7 in latus secundi quadrati praecedentis, hoc est in 9, quod sic patet. Nam columna quadrata centralis praecedentis loci, scilicet 39, cum⁵¹¹ duplo quadrati primi eiusdem loci, scilicet cum 18, efficit, per octogesimam huius, [C:68r] triplum pyramidis eiusdem loci, hoc est 57. 467 Cui numero adiicio 6 parte altera longiorem eiusdem loci, et fiunt 63. Cumque 39 columna dicta⁵¹² fiat⁵¹³ ex radice eiusdem loci, scilicet 3, in quadratum centralem collateralem, scilicet in 13, atque ipse 13 constet ex duobus quadratis primis, scilicet collaterali et praecedenti, hoc est, ex 9 et 4, iam ipse 39 fiet ex 3 in 4 et ex 3 in 9. 468 At ipse 6 parte altera longior, fit ex 3 in 2. Ergo 12 qui fit ex 3 in 4 coniunctus cum 6 parte altera longiore⁵¹⁴, scilicet 18, fiet ex 3 in 6 quod est aggregatum ex 4 et 2. Sic habemus tria producta, scilicet 18 ex 2 in 9 quod fuit duplum quadrati cum columna coniunctum, item 27 ex⁵¹⁵ 3 in 9, atque 18 ex 3 in 6 integrantia⁵¹⁶ totum 63. 469 Cumque ex toto numero 63, ipse 18 contineat bis 9 et ipse 27 contineat ter 9, demonstrandum est quod residuum scilicet 18 continet bis 9 ut videlicet totus 63 concludatur continere septies ipsum 9, secundum imparem scilicet huius loci, qui septenarius est. Quod et ratione confirmatur.

[S:66] 470 Quoniam 18 producitur ex radice tertii loci scilicet 3 in 6 parte altera longiorem eiusdem loci, et perinde⁵¹⁷ productus duplus est ad quadratum eiusdem loci, scilicet ad 9, quotuplus est parte altera longior ipsius radicis. 471 Producitur itaque in hoc loco supplementum 63 ex 7 in 9⁵¹⁸. Et perinde⁵¹⁹ duo talia supplementa 63 et 63 coniuncta [C:68v] cum 49 quadrato ipsius imparis, faciunt gnomonem 175; qui coniunctus cum quadrato ipsius 9 scilicet cum 81 quadrato secundo praecedentis loci, scilicet tertii, componunt quadratum secundum sequentem scilicet 256 collateralem, hoc est, huius quarti loci. 472 Nam, per quartam secundi Euclidis, duo quadrata et duo supplementa ex lateribus quadratorum producta⁵²⁰ pariter accepta, conficiunt quadratum totalem, cuius latus est aggregatum ex lateribus quadratorum partialium. 473 Cumque unum horum laterum fuerit iam quadratus numerus, scilicet 9, et reliquum impar numerus sequens scilicet 7, iam aggregatum ex ipsis, totalis scilicet quadrati latus, erit, per decimam quintam huius, erit quadratus sequens, scilicet 16, latus scilicet totalis quadrati. Unde totalis quadratus erit quadratus secundus, scilicet 256 qui fit ex 16 in se. 474 Lubet et in quinto loco demum propositum demonstrare. 475 In quo quidem impar est 9, quadruplum trianguli saepe dicti 24, sexcuplum pyramidis 264; et ideo duplum trianguli 12, triplum pyramidis 132. Quare hic ostendendum quod 12 cum 132 efficit 144 supplementum quod fit ex impare huius [C:69r] loci, scilicet 9, in latus secundi quadrati praecedentis, scilicet in 16. 476 Quod sic potest concludi: nam per octogesimam huius, columna quadrata centralis praecedentis loci, scilicet 100, cum duplo quadrati primi eiusdem loci, scilicet cum 32, efficit triplum pyramidis suae eiusdem loci, quae fuit 44, hoc est 132, cui numero addo ipsum 12 parte altera longiorem, et conficio 144; cumque 100 columna praedicta fiat ex radice eiusdem loci, scilicet 4 in quadratum centralem collateralem, scilicet in 25 atque ipse 25 constet ex duobus quadratis primis, scilicet collaterali et praecedenti, hoc est, ex 16 et 9, iam⁵²¹ ipse 100⁵²² fiet ex⁵²³ 4 in 16 et ex 4 in 9. 477 At ipse 12 parte altera longior fit ex 4 in 3. Ergo 36 qui fit ex 4 in 9, coniunctus cum 12, scilicet totus 48, fiet ex 4 in 12⁵²⁴ quod est aggregatum ex 9 et 3. Sic habemus tria producta: scilicet 32 ex 2 in 16, quod fuit duplum quadrati cum columna coniunctum, 64 ex 4 in 16 atque 48 ex 4 in 12 integrantia totum 144. 478 Cumque ex toto numero 144 ipse 32 contineat bis 16 et ipse 64 quater [S:67] 16, demonstrandum restat quod residuum scilicet 48 contineat ter⁵²⁵ 16 ut scilicet totus 144 comprehendat novies 16, iuxta imparem huius loci, scilicet 9; quod, sicut prius, fa[C:69v]cile ostenditur. 479 Quoniam 48 producitur ex radice quarti loci, scilicet 4 in 12 parte altera longiorem eiusdem loci, et idcirco productus est triplus ad quadratum collateralem, scilicet ad 16, quotuplus⁵²⁶ est parte altera longior ipsius radicis. 480 Producitur itaque in hoc loco supplementum 144 ex 9 in 16 et ideo duo talia supplementa, scilicet 144 et 144, coniuncta cum 81 quadrato ipsius imparis 9 faciunt⁵²⁷ gnomonem 369 qui coniunctus cum quadrato ipsius 16 scilicet cum 256 quadrato secundo praecedentis loci, scilicet quarti, componit sequentem quadratum secundum, scilicet 625, huius quinti loci. 481 Nam per quartam secundi Euclidis, duo quadrata et duo supplementa ex lateribus quadratorum producta pariter accepta, conficiunt quadratum totalem, cuius latus est aggregatum ex lateribus quadratorum partialium. 482 Cumque unum horum laterum fuerit quadratus numerus, scilicet 16 et reliquum impar numerus sequens, scilicet 9, iam per decimam quintam huius, aggregatus ex⁵²⁸ ipsis, totalis scilicet quadrati latus, erit numerus quadratus, scilicet 25. Unde totale quadratum erit quadratus secundus, scilicet 625 qui fit ex 25 quadrato huius quinti loci in se multiplicato. 483 Similiter in sexto, septimo, octavo et caeteris deinceps locis⁵²⁹ in infinitum [C:70r] continuabitur haec demonstratio. Namque in sexto loco argues tria producta integrantia supplementum, continere praecedentem quadratum undecies; in septimo loco tredecies; in octavo quindecies; in nono septemdecies, in decimo undevigesies et sic deinceps per impares sequentes, ut hic⁵³⁰ in margine notavi, quo constet propositum.

2 5 10 2 4 8 1 2 1 2 2 4 8

3 13 39 3 9 27 4 12 2 6 2 9 18

4 25 100 4 16 54 9 36 3 12 2 6 32

locus 2us 2 bis 1 semel ter 1 0 nihil 3

3us 8 bis 8 bis quinquies 4 4 semel 20

4us 18 bis 27 ter septies 9 18 bis 53

5us 32 bis 64 quater novies 16 48 ter 144

6us 50 bis 125 quinquies undecies 25 100 quater 175

7us 72 bis 216 sexies tredecies 36 180 quinquies 468

8us 98 bis 343 septies quindecies 49531 294 sexies 735

9us 128 bis 512 octies 17ties 64 448 septies 1088

10us 162 bis 729 novies 19ties 81 648 octies 1539

11us 200 bis 1000 decies 21ties 100 900 novies 2100