[S:60]

PROPOSITIO XVI.

Si sphaera plano secetur utriuslibet segmenti superficies aequalis est ei, quod fit ex linea cadente a vertice ipsius segmenti ad peripheriam circuli secantis, in peripheriam circuli, cuius dicta linea est diameter: et ideo ipsa sphaerica superficies segmenti aequalis est circulo, cuius dicta linea est semidiameter.

Circuli ABGD diametrum AG secet ad rectos angulos linea BD apud Z punctum quodcumque; et circumducto semel circa AG diametrum semicirculo ABG, describatur sphaera ABGD; in qua revolutione linea ZB describet circulum, qui terminus est communis duorum sphaericorum segmentorum BAD, BGD: protrahantur itaque rectae AB, BG, quae sunt a verticibus sphaericorum segmentorum ad peripheriam circuli, cuius diameter BD, secantis. Aio iam quod sphaerica superficies segmenti BAD aequalis est ei, quod fit ex AB in peripheriam circuli, cuius diameter AB: nam per 8. sexti sicut AG ad BA, ita BA ad AZ: ergo per 6. huius, sicut GA ad AB, sic peripheria, cuius diameter AB ad peripheriam, cuius diameter AZ: quare per 15. sexti quod fit ex AB in peripheriam, cuius diameter AB aequum est ei, quod ex AG in peripheriam, cuius diameter AZ: sed per praemissam. quod ex AG in peripheriam, cuius diameter AZ aequale est segmenti BAD sphaericae superficiei: igitur segmenti BAD sphaerica superficies aequalis est ei, quod ex AB in peripheriam, cuius diameter AB: et hoc est primum ex propositis. Cumque peripheria, cuius diameter AB sit per sextam dimidium periphaeriae, cuius AB semidiameter, ideo ex AB in dimidium peripheriae, cuius AB semidiameter fit etiam sphaerica superficies segmenti BAD; sed ex AB in dimidium peripheriae cuius AB est semidiameter, fit circulus ipse, cuius AB semidiameter per 4. de dimensione circuli. Itaque circulus, cuius AB semidiameter aequalis est sphaericae superficiei segmenti BAD: quod erat alterum ex propositis. Iisdem penitus mediis ostendam, quod sphaerica superficies segmenti BGD aequalis est ei, quod fit ex BG in peripheriam circuli cuius diameter BG, vel circulo, cuius semidiameter BG: verum hoc apud unum segmentorum ut puta BAD demonstrato; potest idem ostendi apud reliquum sic. Quoniam angulus ABG rectus per 29.3. ideo per 9. de dimensione circuli. duo circuli, quorum semidiametri AB, BG simul aequales sunt circulo, cuius semidiameter AG: hic autem per 10. huius, aequalis superficiei sphaericae, et ideo sphaericis superficiebus segmentorum BAD, BDG: quare circuli quorum semidiametri AB, BG aequales sunt sphaericis superficiebus segmentorum BAD BDG. Aequalis autem fuit circulus, cuius semidiameter AB segmenti BAD sphaericae superficiei. Superest ergo circulus, cuius semidiameter BG aequalis sphaericae superficiei segmenti BDG: quod erat propositum. [S:61]

COROLLARIUM.

Manifestum est igitur quod sphaerica superficies segmenti sphaerici aequalis est circulo, cuius semidiameter est linea, quae a vertice segmenti ad peripheriam circuli secantis sphaeram. Nam per sextam peripheria cuius AB diameter aequalis est dimidio peripheriae cuius AB semidiameter. Aequale est igitur quod ex AB in peripheriam, cuius AB diameter ei, quod ex AB, in dimidium peripheriae, cuius AB semidiameter: sed quod ex AB in peripheriam, cuius AB diameter aequum est sphaericae superficiei segmenti BAD: quod autem ex AB in dimidium peripheriae, cuius AB semidiameter per 4. de dimensione circuli, aequum est circulo, cuius AB semidiameter: ergo sphaerica superficies segmenti BAD aequalis est circulo cuius AB semidiameter: quod est propositum. Non aliter ostendam, quod superficies sphaerica segmenti BGD aequalis est circulo, cuius BG semidiameter.