PROPOSITIO IV.

Trianguli prismatis centrum est, et ipsum centrum medii, et aequidistantis basibus triangulis trigoni.

Prisma super triangulam basim est solidum illud, quod a quibusdam, serratile vocatur: habet autem quinque bases, scilicet duo triangula invicem aequilatera, [S:159] et aequidistantia, et tria parallelogramma: sit ergo tale solidum AB, cuius triangulae bases sint A, B, quibus, et aequidistans, et medium in intervallo sit triangulum C, cuius centrum sit C: aio quod solidi AB centrum gravitatis est ipsum C punctum: applicentur enim ipsis A, B, C triangulis aequilatera triangula D, E, F, compleantque parallelogramma AD, BE, CF.

Et parallelepipedum solidum ADBE: eritque per praecedentem, talis parallelepipedi centrum ipsum ipsius CF parallelogrammi centrum, quod sit G: si itaque prismatis AB centrum non est in plano trianguli C, sit, si possibile est, extra ut pote punctum H; et coniuncta HG per centrum scilicet unius prismatis AB, et per centrum totius parallelepipedi ADBE producta ibit per centrum reliqui prismatis DE per 7. primi momentorum aequalium. Eat, sitque K centrum reliqui prismatis DE, deinde coaptentur triangula D, E, F triangulis A, B, C; congruent enim aequilatera aequilateris; et DE prisma ipsi AB prismati congruet: centrum vero K centro H non congruet: quod est absurdum per 6. postulatum. Itaque centrum prismatis AB alibi, quam in plano trianguli C non erit. Quod autem sit ipsum C punctum, quod est ipsius trianguli C centrum, demonstratum est in 2. aequalium momentorum, omnis enim demonstratio facta de centro plani trianguli pertinet ad triangulum habens crassitudinem, hoc est ad prisma; si pro triangulis prismata, et pro parallelogrammo parallelepipedum sumatur.

Alia demonstratio huius quartae.

Sit triangulum prisma, sive serratile solidum AB, cuius axis centra triangularium basium connectens sit AB, in quo medium punctum sit C. Aio quod centrum prismatis AB erit in plano triangulo parallelo basibus A, B ducto per punctum C: nam si in tali plano non sit: esto in parallelo plano ducto per punctum D per spatium CD a puncto C medio: quare et centrum uniuscuiusque octo prismatum invicem aequalium, et similium, totalique prismati AB similium, recedet a medio suo per dimidium spatii CD per penultimum postulatum. Quandoquidem ipsius latus dimidium est lateris prismatis AB correlativum correlativi: et per consequens, centrum commune dictorum octo prismatum, tantundem recedet a puncto C medio, videlicet per spatium CE dimidium ipsius CD: unde sequetur idem inconveniens, quod in praemissa: hoc autem quando axis AB, orthogonalis est triangulis A, B, C: tunc enim octo prismata habent bases correlativas ad easdem partes: tunc enim centrum ipsorum commune unum, et idem ponere cogetur adversarius: quando autem axis AB inclinatur ad triangula A, B, C: tunc sex prismata angularia ad eandem partem habebunt bases correlativas; reliqua autem duo prismata media ad diversas comparando similes inclinationes. In quo casu adversarius dicere poterit dictorum sex prismatum angularium centra, et perinde eorundem sex commune centrum recedere a puncto C medio per dictum spatium CE ipsius CD dimidium: at centra dictorum duorum, et perinde eorumdem duorum commune centrum recedere a puncto C medio ad partes diversas per spatium scilicet CF aequali ipsi CE, quo scilicet talis centrorum pro adversario posita recessio fiat (sic volente penultimo postulato versus bases correlativas:) unde in hoc casu sequetur, ut haec tria centra, scilicet centrum totalis prismatis, centrum sex prismatum an[S:160]gularium, centrum duorum prismatum medianorum, hoc est centrum totius, et duo centra partium sint in parallelis planis per puncta D, E, F, ductis, cumque punctum D non interiaceat punctis E, F, iam centrum totius non interiacebit centris partium: quod est impossibile per 6. primi momentorum aequalium.

Omnino igitur centrum prismatis AB erit in plano triangulo per punctum C parallelo ipsis A, B triangulis, eritque ipsum C punctum axis medium, quod est centrum ipsius trianguli per punctum C ducti; quod sic demonstrabitur in triangulari prismate, quemadmodum in plano triangulo in secundo libello ostensum est: ut scilicet pro triangulis prismata, quorum bases sunt ipsa triangula, et pro parallelogrammis parallelepipeda, quorum bases sunt parallelogramma in ipsa demonstratione sumantur.

Unde centrum omnis prismatis triangularis est in puncto medio axis connectentis centra triangularium basium, quod est centrum trianguli basibus ipsis aequidistantis.

Sequitur demonstratio 6. de prismatibus habentibus bases tetragonas, pentagonas, et multiangulas, quae tota demonstrationi trianguli prismatis innititur.