PROPOSITIO V.

Duae portiones paraboles, quarum una terminetur linea ordinata ad axem, altera autem linea ad alteram diametrum ordinata, existentibus utique axe, et diametro aequalibus; aequales erunt: item et triangula portionibus inscripta easdem cum portionibus bases, eosdemque vertices habentia inter se aequalia erunt.

Sit parabole ABC, cuius axis BG, ad quem ordinata CGH ad angulos scilicet rectos: item diameter axi aequidistans DF; ad quam ordinata AFE bifariam secta apud F, et axis BG aequalis sit diametro DF. Dico iam quod portio ABE sub peripheria ABE, et recta AFE comprehensa aequalis est portioni CBH sub peripheria CBH, et recta CGH comprehensae. Item quod triangulum ADE aequale est triangulo CBH; quod sic demonstratur. Sit M recta diametros ad quam possunt ordinatae ad axem BG, occurrat AK perpendicularis ad DF productam; et sicut est quadratum KA ad quadratum AF, sic sit M ad N, eritque per praecedentem N recta diametros, ad quam possunt ordinatae ad DF diametrum. Itaque quadratum HG aequum est rectangulo MBG, et quadratum AF aequum erit rectangulo NDF: sed ipsae BG, DF aequales sunt. Igitur per 1. sexti elementorum Euclidis sicut M ad N, sic quadratum HG ad qua[S:231]dratum AF; fuit autem sicut M ad N, sic quadratum AK ad quadratum AF. Eamdem igitur rationem habent duo quadrata AK, et GH ad idem quadratum AF; quare ipsa quadrata AK, GH aequalia: et ideo ipsae lineae AK, GH aequales; verum per hypothesim lineae BG, DF aequales, ergo rectangulum BG, GH aequales est rectangulo DF, AK, sed rectangulum BG, GH aequale est triangulo CBH, et rectangulum DF, AK aequale est triangulo ADE.

Igitur triangulum ADE aequale est triangulo CBH; unaquaeque autem portio parabolae ad triangulum eamdem basim, eumdemque verticem habens sexquitertia est, ut in libello de Quadratura Parabolae, ostensum: et spatia sesquitertia aequalium spatiorum sunt inter se aequalia. Igitur portio ABE aequalis est portioni CBH, quod supererat demonstrandum.