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bacini di attrazione
Nel seguito useremo le immagini a falsi colori per visualizzare i bacini di attrazione di vari algoritmi iterativi.
In questo modo si generano parecchie immagini suggestive, come quelle dei frattali di Mandelbrot o di Julia.
Iniziamo con un caso relativamente semplice, sul piano complesso.
Se si prende un punto z non nullo, e si itera il calcolo di (z+1/z)/2 , per punti z non immaginari puri si finsice per cadere su +1 o -1.
Si può costruire una funzione di octave/matlab [s,n]=segno[z,maxiter, epsilon) che, partendo da z, itera il procedimento
fino ad un massimo di maxiter volte, o fino a quando due iterazioni forniscono due numeri complessi più vicini di epsilon, e
restituisce il numero complesso s ottenuto e il numero di iterazioni n effettivamente fatte.
Preso epsilon=1,0e-8 e maxiter=20, si possono studiare i punti nel rettangolo tra -5-5i e 5+5i, e vedere per ciascuno di essi quante
iterazioni occorre fare per arrivare a +1 o -1.
Tali numeri vanno da 1 a maxiter. Possiamo rappresentarli con un colore.
In pratica non possiamo prendere tutti i punti, ma possiamo prendere un reticolo piu' o meno fitto.
Per fare ciò costruiamo una funzione [x,y,iter]=bsegno(a,b,c,d,numpoints,maxiter,epsilon)
che prende il rettangolo del piano [a,b]x[c,d], ne suddivide i lati in numpoints, mi restituisce in x e y i
vettori dei punti del reticolo presi in [a,b] e [c,d] rispettivamente, e per ogni punto del reticolo (i,j)
prende il numero complesso corrispondente e ne fa le iterazioni chiamando la funzione segno, e riporta in
iter(i,j) il numero di iterazioni fatto.
A questo punto imagesc(x,y,iter) rappresenta in falsi colori la matrice delle iterazioni e ci dice quali
punti del piano sono più o meno attratti dai due punti 1 e -1.
Nel caso che abbiamo visto il piano complesso viene diviso abbastanza nettamente in due zone, una attratta da 1 e l'altra da -1.
Ci sono casi piu' complicati in cui le zone di attrazione si compenetrano in modo caotico.
esercizio:
Si consideri l'equazione 1+x^3=0. Partendo da un punto del piano complesso si usi il metodo di Newton per avvicinarsi
ad una soluzione.
Colorare il punto in giallo se non ci si avvicina abbastanza ad una soluzione, in blu, rosso, verde se ci si avviciana ad una
o all'altra delle tre soluzioni.
Si dovrebbe ottenere una immagine caratteristica dei 3 bacini di attrazione tra loro interallacciati finemente.
comandi da usare: imagesc, colormap, e una routine da scrivere in colore.m che fornisce y=colore(x) per x complesso.
già 200x200 punti evidenziano il fenomeno nel quadrato tra -2-2i e 2+2i.
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