PROPOSITIO XXI
145 Aliter id ipsum demonstrare.
146 Repeto tertiam descriptionem rectilineam 12 huius, in qua quidem angulus ghk est ille quem in centro sphaerae constitutum subtendit arcus ab, angulus autem ghl est is quem ibidem positum subtendit arcus ac minor ipso ab. Unde totus angulus lhk erit is quem subtendet arcus aggregatus ex arcubus ba ac. 147 Et quoniam tale arcuum aggregatum supponitur quadrans, propterea iam angulus lhk erit rectus. 148 Angulus autem kho erit differentia angulorum ghk ghl et perinde ipse est quem subtendet differentia arcuum ba ac. 149 Itaque demonstrantes quod existente recto angulo lhk maximus erit angulus kho iam simul demonstratum erit quod existente aggregato arcuum ba ac quadrante, maxima erit talium arcuum differentia. 150 Demonstrabimus autem quod angulus kho maximus est, dum angulus lhk rectus est, hoc modo. 151 Angulus lhk per hypothesim rectus est igitur per 8m sexti Euclidis, linea gh perpendicularis ipsi lk est media proportionalis inter lg gk et ideo, quoniam lg gm sunt aequales, media proportionalis inter mg gk. 152 Quare per 15m praedicti, quadrangulum quod ex mg gk aequale erit quadrato quod ex gh. 153 Descripta ergo periferia per puncta hmk circulari, ipsa gh continget circulum apud h punctum, per ultimam tertii Euclidis. Itaque quocumque coincidant lineae a punctis k m excitatae ad lineam gh alio quam in punctum h semper extra periferiam circuli hmk coincident et ideo minorem angulum continebunt angulo kho per 26m tertii et 16m primi Euclidis. Itaque angulus kho maximus erit. 154 Similiter descripto circulo per puncta k m et puncta coincidentiarum extra punctum h secante quidem lineam gh ostendentur et caeteri anguli extra punctum h facti inter se differre. 155 Nam angulus super arcum quempiam ad periferiam constitutus semper maior est angulo super eundem arcum posito et ad easdem partes periferiam excedente. 156 Contra posito angulo kho maximo, indirecte demonstrabitur angulus lhk rectus. 157 Non enim potest esse maximus talis angulus, nisi circulus hmk contingatur a linea gh. 158 Si autem tangens est linea gh tunc per penultimam tertii Euclidis, quadrangulum kgm aequum erit quadrato gh. 159 Quare per 15m 6, linea gh erit media proportionalis inter ipsas kg gm hoc est inter ipsas kg gl lineas. Atque ideo per conversam octavae sexti Euclidis, angulus lhk rectus erit. Quod supererat demonstrandum.