PROPOSITIO VI

57 In triangulo ex arcubus circulorum maiorum quadrante minoribus in superficie sphaerae rectangulo, sicut est sinus arcus rectum angulum subtendentis ad sinum arcus alterum ex acutis angulis respicientis, sic est sinus totus ad sinum dicti acuti anguli.

58 Sit < in¹⁰> superficie sphaerae triangulum abc ex circulorum maiorum arcubus, quorum quisque minor quadrante, habens eum, qui ad c angulum rectum: aio quod sinus arcus ab ad sinum arcus alterius reliquorum, ut bc, est sicut sinus totus ad sinum anguli bac qui opponitur arcui bc. 59 Producantur enim ab ac et quadrantes ponantur acd abe. Et ducatur arcus circuli magni de qui productus coincidat ipsi cb producto apud f. Et quoniam quadrantes sunt ae ad erunt per primam 3 huius, qui apud d e anguli recti. 60 Et quoniam recti, qui apud c d anguli, erunt per 2^m partem praedictae, ipsi cf fd quadrantes. Atque per ultimam partem eiusdem, f punctum polus circuli ad et punctum a polus circuli de. 61 Sit itaque ipsorum ab ac circulorum communis sectio linea ag quae diameter erit sphaerae, quoniam¹¹ maiores sunt circuli. In ea ergo centrum sphaerae sit g quod et centrum est commune circulorum et coniungantur gd ge quae quoniam in plano sunt circuli fd cui plano perpendicularis est ag per 10^m primi Elementorum Theodosii, iam recta erit ag ad ipsas gd ge lineas. Et ideo angulus dge erit is, ad quem inclinantur plana circulorum ab ac. 62 Ducatur eh linea perpendicularis ad gd. Eritque per primam huius, eh sinus rectus arcus de et per diffinitionem, sinus anguli dge arcum ipsum assumentis: hoc est sinus anguli bac. 63 Item a puncto b perpendicularis ducatur ad planum circuli ad quae sit bk. Eritque per 2^m huius, bk sinus rectus arcus bc. 64 Item bl perpendicularis ad ag. Eritque bl per primam huius, sinus rectus arcus ab. Linea vero ge erit sinus totus, quoniam semidiameter circuli maioris, sive sphaerae. 65 Demonstrandum est igitur quod lb ad bk est sicut ge ad eh, hoc modo: lineae ge lb sunt aequidistantes, per 28^m primi Elementorum Euclidis. Item per 6^m 11 aequidistant et ipse eh bk quandoquidem perpendiculares sunt plano circuli ad. Itaque per 10^m eiusdem, aequales sunt anguli geh lbk. 66 Coniungatur lk eruntque anguli ehg bkl recti. Quam ob rem aequiangula erunt triangula geh lbk. Igitur per 4^m sexti Elementorum Euclidis, erit sicut lb ad bk sic ge ad eh¹². Et hoc fuerat demonstrandum.