PROPOSITIO XXXX

252 Si vero sinus totus ad sinum secundum alterius arcus perpendicularis minor fuerit quam sinus secundus reliqui perpendicularis ad sinum secundum anguli acuti perpendicularibus oppositi: tunc arcus inter casus perpendicularium minor erit arcu inter signata puncta cadente et arcus ad angulum minores erunt singuli singulis coalternis et angulorum a perpendicularibus ad puncta signata factorum sinus minores erunt alter alterius perpendicularis sinu secundo.

253 In eadem descriptione ponatur ratio sinus totius ad sinum arcus fk minor, quam ratio sinus arcus bf ad sinum arcus fe: aio tunc quod arcus cl minor erit arcu bk, item arcus ak minor arcu cd et arcus al minor arcu be. Nec non sinus anguli akl minor sinu arcus fb et sinus anguli abc minor sinu arcus fk. 254 Ponatur enim sicut sinus arcus bf ad sinum arcus fe sic sinus totus ad sinum arcus fm. Sic enim minor erit arcus fm arcu fk. 255 Describatur, ut prius, ipsi ad circulo parallelus mg incidens ipsi ae apud g et producatur quadrans fgh. Eritque fg arcus aequalis arcui fm. ^[1] Quare erit sicut sinus totus ad sinum arcus fg sic sinus arcus bf ad sinum arcus fe. Et ideo per 15^m 6 Euclidis, quadrangulum quod ex sinu toto sinuque arcus fe erit aequale quadrangulo quod ex sinibus arcuum fg fb. 256 Igitur quod ex sinu toto sinuque arcus fe minus erit quadrangulo, quod ex sinibus arcuum fk fb (quandoquidem maior arcus fk arcu fg). Verum per 34^m huius, sicut quadrangulum quod ex sinu toto sinuque arcus fe ad quadrangulum quod ex sinibus arcuum fk fb sic est iam sinus arcus cl ad sinum arcus bk. 257 Ergo minor sinus arcus cl sinu arcus bk et perinde minor arcus cl arcu bk. Et quoniam per 35^m huius, arcus ag aequalis est arcui cd et arcus ah aequalis arcui be, idcirco iam arcus ak minor erit arcu cd et arcus al minor arcu be. 258 Et quoniam per 6^m huius, sicut sinus arcus gf ad sinum arcus fe sic sinus totus ad sinum anguli akl estque minor sinus arcus gf ad sinum arcus fe quam sinus arcus kf ad sinum arcus fe. Ideo minor erit sinus totus ad sinum anguli agh quam ad sinum anguli akl. Et ob id minor erit sinus anguli akl sinu anguli agh et angulus angulo. 259 Sed per 35^m huius, sinus anguli agh aequalis est sinui arcus fb, igitur sinus anguli akl minor erit sinu arcus fb. Et quoniam per dictam [S:52r]35^m, sinus anguli abc aequalis est sinui arcus fg, arcus autem fg minor arcu fk, et sinus sinu, ideo sinus idem anguli abc minor erit sinu arcus fk. Et haec fuerant demonstranda.