23

58 A centro sphaerae ad basim icosahedri recta perpendicularis maior est, quam perpendicularis ab eodem centro ad basim cubi in eadem sphaera constituti.

Patet. Nam circulus circumscribens quadratum cubi, maior est circulo circumscribente triangulum icosahedri. Nam ille circulus, per 12^am huius, circumscribit triangulum octahedri. Quod triangulum maius est triangulo icosahedri, quod circumscribit hic. 59 Ergo si quadrata horum semidiametrorum singula subtrahantur a quadrato semidiametri sphaerae; supererunt per penultimam Primi, quadrata perpendicularium a centro sphaerae ad ipsas solidorum bases. Per subtractionem igitur minoris quadrati, supererit maius quadratum, et ideo maior perpendicularis. Quoniam igitur minor est circulus circumscribens basim icosahedri, et ideo minus quadratum eius semidiameter; ideo maior erit perpendicularis a centro sphaerae ad basim icosahedri, quam ab eodem centro perpendicularis ad basim cubi. 60 Quod est propositum. Poterat et prius ostendi, quod [S:134] perpendicularis icosahedri maior est, quam perpendicularis octahedri (quoniam illius triangulum minus est) et ideo maior, quam perpendicularis cubi, sicut demonstrandum proponitur.