19

33 Dupla, decemque vicesimas septimas superpartiens ratio est, sicut ratio cubicae basis ad octahedricam basim duplicata, solidorum in eadem sphaera locatorum.

Esto abc quadratum cubi def triangulum octahedri eiusdem sphaerae. Aio, quod ratio 64 ad 27 dupla est eius, quam habet quadratum abc ad triangulum def. Cadat enim dg ad basim ef perpendicularis. Et quoniam quadratum abc et triangulum def per 12^am huius, in eodem circulo inscribuntur: ideo latus ab ad ipsum de potentialiter erit subsesquialterum, hoc est, sicut 8 ad 12 per quindecimam praemissi et sequentia corollaria. 34 Sed de ad ipsam dg per primam huius, sicut 12 ad 9.

Per aequam ergo proportionem ab vel bc ad ipsam dg potentialiter erit, sicut 8 ad 9. Item de ad ipsam eg potentialiter est, sicut 12 ad 3. Rursus ergo per aequam proportionem, ab ad ipsam eg potentialiter erit, sicut 8 ad 3 verum ratio quadrati [S:129] abc ad triangulum def componitur ex ratione ab ad ipsam eg et ex ratione bc ad ipsam ag. 35 Ergo ratio dupla quadrati abc ad triangulum def componetur ex duplis rationibus earundem. Et quoniam dupla eius, quam habet ab ad ipsam eg fuit, sicut 8 ad 3 hoc est, sicut 64 ad 24. Dupla autem eius, quam habet bc ad ipsam dg fuit sicut 8 ad 9 hoc est, sicut 24 ad 27. Ideo, per aequam proportionem, dupla eius, quam habet quadratum abc ad triangulum def erit sicut 64 ad 27 quod fuerat demonstrandum.