<12>

47 Si latus sexanguli extrema et media ratione secetur, maius seg[S:112]mentum erit decagoni latus circumscripti in circulo sexangulum circumscribente.

Latus sexanguli cuiuspiam ab secundum mediam extremamque rationem secetur in puncto c sitque maius segmentum bc. Aio, quod bc est latus decagoni in circulo, qui hexagonum circumscribit, descripti.

48 Sit enim latus decagoni bd eritque per praecedentem ad in puncto b per extremam et mediam rationem divisa maiusque segmentum ab. Ergo per septimam huius sicut da ad ipsam ab, sic ab ad ipsam bc. Sed sic etiam ab ad ipsam bd igitur bc et bd aequales. Sed bd latus decagoni: quare et bc idem latus est, in circulo, scilicet, cuius semidiameter ab inscripti. Quod est propositum. Vel sic. 49 Sit ipsi bc aequalis bd eritque per quintam huius ad in puncto b extrema et media ratione secta. Sed ab latus hexagoni. Ergo per primam conversarum praecedentis bd latus decagoni. Quare et bc idem latus. Quod si linea quaepiam extrema et media ratione secetur et maius segmentum sit latus decagoni in circulo descripti, tunc tota linea erit latus hexagoni, sive semidiameter talis circuli. 50 Haec est conversa huius duodecimae. Et per ipsam duodecimam et septimam huius ostenditur.

Hinc manifestum est, quod si circuli decagonum circunscribentis diametros, fuerit rationalis longitudine vel tantum potentia, ipsum decagoni latus erit Apotome. Hoc enim sequitur ex hac duodecima et octava huius. Item si de latere hexagoni abscindatur latus decagoni, erit maius segmentum hexagonici lateris extrema et media ratione divisi.