PROPOSITIO XXVII
214 Spatiorum sub peripheriis spiralibus et rectis a revolutionum numero denominatis contentorum, primum quidem, quod circa initium spirae, est sexta pars secundi, secundum autem dimidium tertii, tertia vero pars quarti; quarta demum pars quinti; et sic deinceps secundum numeros crescentes.
215 Semidiametri circulorum primi, secundi, tertii, quarti et quinti in revolutionibus eiusdem numeri spirarum sint, exempli gratia, lineae A, B, C, D, E, quae per diffinitionem spirae, continue secundum excessum aequalem ipsi A crescunt. Horum semidiametrorum quadrati per ordinem sint22 F, G, H, K, L, unde, per2<am> duodecimi Elementorum23, circuli praedicti erunt in ratione ipsorum quadratorum, scilicet F, G, H, K, L, et ipsum F erit quadratum quod ex differentia collateralium semidiametrorum. Horum quadratorum scilicet F, G, H, K, L tripla singulorum sint M, N, O, P, Q. 216 Item R sit aequale ipsi F. Deinde tripla eorum, quae sub AB, BC, CD, DE, hoc est sub proximis semidiametris continentur, singula singulorum sint S, T, V, X. Quibus ordinatis, erunt circuli in spiris secundum ordinem revolutionum sumpti in ratione ipsorum M, N, O, P, Q; quando haec singula tripla sunt singulorum quadratorum ex semidiametris circulorum. 217 Item S, T, V, X ad N, O, P, Q singula singulis collata erunt sicut rectangula AB, BC, CD, DE ad G, H, K, L singula singulis comparata, quoniam tripla sub triplis proportionalia veniunt. Itaque, cum per 24<am> huius, prima spira sit tertia pars circuli primi, et circulus primus quarta pars est secundi, cum radius B duplus sit radii A: ergo prima spira duodecima pars est circuli B secundi. Cumque secunda spira ad circulum secundum sit sicut 7 ad 12, idcirco differentia primae et secundae spirarum ad primam, erit sicut 6 ad 1: quod fuit primum ex propositis. Igitur spira prima ad primum circulum, sicut R ad M, cum autem per 25<am> huius, spira secunda ad secundum circulum sit sicut rectangulum AB cum tertia parte F ad G, erit etiam sicut S, R ad N. Cumque per eamdem spira tertia ad tertium circulum sit sicut rectangulum C, D cum tertia parte F ad K, erit etiam sicut V, R ad P. Cumque, per eamdem, spira quinta ad quintum circulum sit sicut rectangulum D, E cum tertia parte F ad L erit etiam sicut X, R ad Q. 218 Et sic deinceps in sequentibus semidiametris, productis quadratis eorum triplis, hinc ex aequa proportione argumentando. 219 Ratio primae spirae ad secundam erit iam sicut R ad R, S. Ratio secundae ad tertiam spiram sicut R, S ad R, T. 220 Ratio tertiae ad quartam spiram sicut R, T ad R, V. Ratio denique spirae quartae ad quintam sicut R, V ad R, X. 221 Quo fit ut spirarum secundae, tertiae, quartae, et quintae differentiae, hoc est spatia sub spiralibus rectisque eorumdem numerorum sint ad invicem sicut differentiae ipsorum S, T, V, X. 222 Itaque superest demonstrandum, quod differentia ipsorum S, T ad S, hoc est tertium spirale spatium ad secundum sit duplum. Quodque differentia ipsorum V, T ad S, hoc est quartum spatium ad secundum sit triplum, quodque differentia ipsorum V, X ad S, hoc est quintum spatium ad secundum sit quadruplum: et ita deinceps. Quod sic demonstrabitur. 223 Rectangulum A, B fit ex A in B: differentia autem rectangulorum AB, BC fit ex differentia A, C in B, sed differentia A, C dupla est ad A: igitur, per 1<am> sexti Elementorum, differentia [S:222] rectangulorum AB, BC dupla est ad rectangulum AB.
224 Item differentia rectangulorum AB, BC fit ex differentia AC in B. Differentia autem rectangulorum BC, CD fit ex differentia BD in C, sed differentia B, D aequalis est differentiae A, C: igitur, per 1<am> sexti, differentia rectangulorum BC, CD ad differentiam rectangulorum AB, BC, est sicut C ad B, hoc est sicut 3 ad 2, et perinde tripla ad rectangulum AB.
225 Similiter, omnino demonstrabimus, quod differentia rectangulorum CD, DE ad differentiam rectangulorum BC, CD, est sicut D ad C, hoc est sicut 4 ad 3, et perinde quadrupla ad rectangulum AB: itaque deinceps crescente per unitatem denominatione. 226 Quoniam igitur in rectangulis AB, BC, CD, DE per ordinem sumptae differentiae ita se habent, ut prima earum dupla sit ad idem rectangulum AB, et ita deinceps; et triplorum eadem, quae sub triplorum ratio; propterea et in ipsis S, T, V, X differentiae per ordinem receptae eamdem servabunt proportionem. Eritque differentia ipsorum S, T dupla ad S, differentia ipsorum T, V tripla ad S, differentia ipsorum V, X quadrupla ad S, et ita deinceps crescente per numerorum naturalem seriem denominatione. Cumque spatia sub spiralibus, rectisque eiusdem denominationis compraehensa sint ad invicem, sicut differentiae ipsorum S, T, V, X, ut iam ostensum est. Iam tertium spirale spatium duplum erit secundi. 227 Quartum vero triplum secundi. Quintum autem quadruplum secundi, et ita deinceps per numeros unitate crescentes, et hoc restabat demonstrandum.
COROLLARIUM
228 Manifestum est ergo, quod sicut ratio semidiametrorum in circulis spiralium secundum ordinem revolutionum sumptis est, eadem, quae numerorum ab unitate naturali serie procedentium et ipsorum circulorum ratio est, quae quadratorum a talibus numeris factorum, et circularium differentiarum ratio, quae imparium ordinatim sumptorum. Ita spiralium spatiorum ratio est eadem, quae et numerorum hexagonorum aequiangulorum, quippe qui constant ex triplicatis altera parte longioribus, et unitate, hoc est ex ipsis S, T, V, X singulis cum R coniunctis: sicut in Arithmeticis ostensum est, ex quorum hexagonorum continua additione, conflantur cubi numeri per ordinem, ut ibidem demonstratur.