PROPOSITIO XXVI

207 Spatium sub parte spiralis lineae rectisque duabus ab initio spirae eductis compraehensum, habet ad frustum circuli, cuius semidiameter est maior eductarum inter eductas conclusum, eam rationem quam rectangulum contentum sub eductis ab initio spirae usque ad lineam spiralem, una cum tertia parte quadrati, quod ex differentia earumdem eductarum ad quadratum, quod ex maiore ipsarum.

208 Sit pars spiralis lineae ABCDE, cuius initium H, eductis HA, HE rectis, descriptoque circulo centro H, intervallo HA maioris eductarum, occurrat eius peripheria ipsi HE productae apud punctum F. 209 Ostendendum est, quod spirale spatium, sub spirali peripheria ABCDE et rectis AH, HE compraehensum, ad frustum, sive sectorem circuli AHF, habet eamdem rationem, quam rectangulum AH, HE, et tertia pars quadrati EF, simul ad quadratum HA. 210 Ponatur circulus S, cuius semidiametri quadratum aequale sit rectangulo AH, HE cum tertia parte quadrati EF. De quo quidem circulo sumatur frustum S simile ipsi frusto AHF, hoc est sector sub angulo AHF contentus. [S:220] Itaque, quoniam per ultimam sexti et < secundam²¹> duodecimi Elementorum similes sectores circulorum sunt proportionales quadratis semidiametrorum, propterea erit frustum S ad frustum AHF, sicut rectangulum AH, HE cum tertia parte quadrati EF ad quadratum HA. Quare ostendendum erit, quod spirale spatium ABCDEH praedictum, aequale est ipsi frusto S. Secus enim erit aut maius, aut minus. 211 Sit, primum, minus spirale spatium frusto S. Sitque spirale spatium, una cum spatio R, aequum frusto S et, per 23^<am> huius eiusque corollarium, circumscribatur spirali spatio figura ex similibus frustis composita, cuius excessus super spiram sit minor spatio R. Eritque figura circumscripta minor frusto S: igitur minor est ratio frusti AHF ad frustum S, quam eiusdem frusti AHF ad figuram circumscriptam, in qua maximum frustum similium est AKH super maximam lineam AH, minimum vero DHO super DH penultimam, lineis per 10^<am> huius, aequaliter sese excedentibus. Per 9^<am> huius eiusque corollarium, frusto uno pauciora dictis lineis singula aequalia frusto maximo AHK; hoc est totum frustum AHF maiorem rationem habet ad frusta similia linearum sese aequaliter excedentium (dempta brevissima) hoc est ad figuram circumscriptam, quam habet quadratum HA longissimae ad rectangulum AH, HE longissimae, brevissimaeque, cum tertia parte quadrati EF excessus earum. Igitur, a fortiori, minor erit ratio frusti AHF ad frustum S, quam quadrati HA ad rectangulum AH, HE una cum tertia parte quadrati EF, quod est contra hypothesim.

212 Non est igitur minus spirale spatium frusto S. Sit nunc maius: tunc, ponatur frustum S cum spatio R aequale spirali spatio praedicto. Per 23^<am> huius eiusque corollarium, inscribatur spirali spatio figura ex similibus frustis composita, quorum maximum BGH super secundam a maxima linearum, minimum vero EHZ super minimam HE linearum, per 10^<am> sese aequaliter excedentium. Ita ut excessus, quo figura inscripta superatur a spatio spirali, sit minor spatio R, eritque figura talis maior frusto S. Igitur maior est ratio frusti AGF ad frustum S, quam eiusdem frusti AHF ad figuram. Sed, per 9^<am> huius eiusque corollarium, frusta uno pauciora dictis lineis singula aequalia frusto AHK maximae lineae AH, hoc est totum frustum AHF, maiorem rationem habet ad frusta similia linearum sese aequaliter excedentium dempto maximo, quam habet quadratum HA longissimae ad rectangulum AH, HE longissimae, brevissimaeque cum tertia parte quadrati EF excessus earum. Igitur, a fortiori, maior erit ratio frusti AHF ad frustum S, quam quadrati HA ad rectangulum AH, HE una cum tertia parte quadrati EF. Quod rursum adversatur hypothesi: non est igitur maius spirale spatium frusto S, sed nec minus fuit. Aequale itaque omnino erit: sicut proponitur demonstrandum.

SCHOLIUM

213 Notandum, quod haec demonstratio non solum ad spiram primae revolutionis, sed etiam ad alias spectat, modo spatium spirale semper ad concursum rectarum initiumque revolutionis terminetur.