PROPOSITIO IV.

Si duo trapetii latera tantum aequidistent, et unum reliquorum laterum ita secetur, ut segmentum aequidistantium laterum maiori contiguum ad reliquum segmentum sit, sicut aggregatum ex duplo aequidistantis minoris, et ex aequidistante maiori ad aggregatum ex duplo paralleli maioris, et ex parallelo minori, et per sectionis punctum ducatur linea aequidistans ipsis lateribus parallelis; ducta ibit per centrum gravitatis trapetii.

Esto trapetium ABGD, cuius latera AD, BG aequidistent, alterum autem ipsorum AB, GD, quod sit AB secetur apud E, ita ut AE, ad EB sit sicut aggregatum [S:135] ex duplo ipsius BG, et ex AD ad aggregatum ex duplo AD, et ex BG; et per punctum E ducatur ipsis AD, BG aequidistans EZ: demonstrandum est, quod EZ incedit per centrum trapetii ABG: erit enim ex tali proportione, linea BE plusquam dimidium AB: capiatur ergo BT pars tertia totius AB, et ipsi BT aequalis AH: unde HT erit tam ipsi TB, quam ipsi AH aequalis; eritque E punctum intra T, H puncta: ducantur itaque HK, TL ipsis AD, BG aequidistantes, et diameter BD, eritque per 14. praecedentis libri, trianguli ABD centrum in ipsa HK linea, trianguli vero BGD centrum in linea TL. Et quoniam per hypothesim.

BG   AD BG ad AD sicut AH vel HT ad ET AD   BG HE   TB videlicet HT

Ideo coniunctim.

Triplum   AD   Triplum   ET et ex aequali. Totius ad AD erit sicut ipsius HT ad TH AD, BG   BG   quod est totum,         AB

AD   ET Sicut AD ad AD sic erit HT ad   et conversim,   BG   BG TH

AD Sicut AD ad AD sic ET ad HT, et disiunctim.   BG   BG TH

Sicut AD ad

AD BG

sic ET ad HT, et conversim.

Sicut

AD BG

ad AD sic HT ad ET, et disiunctim,

sicut BG ad AD sic iam HE ad ET, sed per primam sexti Euclidis,

sicut BG ad AD sic triangulum BGD ad triangulum ABD. Igitur

sicut triangulum BGD ad triangulum ABD sic HE ad ET.

Sint ergo triangulorum ABD, BGD centra M, N in lineis HK, TL: et coniungatur MN, quae secet ipsam EZ in puncto O. Eritque per 2. sex Euclidis, MO ad ON, sicut HE ad ET, et ideo iam sicut triangulum BGD ad triangulum ABD: itaque reciproca sunt triangula BGD, ABD spatiis, quibus eorum centra M, N absunt a puncto O in recta MN posito: quare per 28. primi momentorum aequalium; punctum O erit centrum commune triangulorum BGD, ABD, hoc est centrum trapetii ABGD: sed O punctum est in linea EZ, igitur EZ incedit per centrum trapetii ABG, quod fuit demonstrandum.