PROPOSITIO IV.

Quod si per axem planum ducatur rectum quidem super tangenti plano ductum, ibit per punctum contactus.

Namque in eadem descriptione, si planum per axem, et erectum super tangenti plano minime incedat per punctum contactus; ducatur per axem aliud planum, perque ipsum contactus punctum: ecce igitur planum per praecedentem, erit rectum super tangenti plano. Duo igitur plana se invicem secantia super axem erecta erunt eidem plano tangenti quod est impossibile, oportet enim per 19. undecimi Euclidis, ipsam BD communem planorum sectionem esse perpendicularem tangenti plano; quod est impossibile, quandoquidem punctum contactus est aliud quam B, vertex solidi; omnino igitur planum per axem, et rectum super tangenti plano, it per punctum contactus, quod est propositum.

SCHOLIUM.

Quando autem punctum contactus est ipsae B vertex solidi; tunc axis BD rectus est ad tangens planum: namque omnes lineae, quae sunt communes sectiones plani tangentis, cum quotlibet ex planis per axem eunt per punctum B ad rectos ipsi BD; tangunt enim sectionem ABC, et alias factas a planis per axem. Itaque quando punctum contactus est B vertex, tunc omne planum per axem necessario it per punctum contactus, et est rectum super planum tangens; et ideo in tali casu non [S:249] usuveniunt hae duae propositiones, quippe quae supponunt ipsum contactus punctum extra axem: licet itaque inferre corollaria istaec.

COROLLARIUM I.

Manifestum enim fit ex his, quod plano solidum conoides tangente in extremo axis, hoc est apud verticem omne planum, quod per axem ducitur rectum est plano tangenti.

COROLLARIUM II.

Item axis solidi conoidis nulli planorum tangentium solidum rectus est, nisi soli in ipso extremo axis, hoc est apud verticem tangenti.