4^a

18 Circulus aequalis est trigono²² rectangulo cuius, quae quidem ex centro aequalis est uni earum, quae circum rectum angulum, perimeter autem basi.

19 Sit circulus abgd et²³ trigonum rectangulum E²⁴, sitque semidiameter circuli abg aequalis uni laterum trianguli E, quae circum rectum angulum²⁵, perimeter autem abg aequalis reliquo lateri trianguli E quod circum rectum angulum.

Aio quod aequalis est circulus abg triangulo E.

20 Sit enim, si possibile est, maior circulus trigono in²⁶ spacio quopiam utpote z et inscribatur circulo per 6^am 4ⁱ quadratum abg sectisque periferiis bifariam inscribatur octogonum akb eritque, per primam huius, triangulum akb maius quam 1/2 portionis circularis akb et similiter reliqua triangula reliquis portionibus; hoc autem toties faciam, donec per primam 10ⁱ relictae portiones sint minus quam spatium z, itaque inscriptum polygonium akb maius erit trigono E.

21 Capiatur una perpendicularium a centro circuli n ad latera polygonii akb²⁷, utpote nx, perpendicularis ad latus ak eritque, per praecedentem, polygo[A:23v]nium akb aequale [S:29] trigono rectangulo, cuius laterum, quae circa rectum, alterum ipsi nx, reliquum perimetro polygonii akb est aequale; 22 sed tale trigonum minus²⁸ trigono E, quandoquidem trigoni E latera, quae circa rectum, maiora sunt utpote quorum alterum semidiametro²⁹ circuli abg, quae maior est perpendiculari nx, reliquum perimetro circuli, qui maior perimetro polygonii, aequale est. Ergo polygonium akb minus erit trigono E, fuit autem maius, quod est impossibile.

Non est ergo circulus abg maior trigono E.

23 Sit nunc, si possibile est, minor circulus abg trigono³⁰ E in spatio quovis, utputa, z et circumscribatur circulo, per 7^am 4ⁱ, quadratum oh cuius latera contingant circulum apud puncta a, b, g, d sectaque periferia akb³¹ bifariam in signo k similiter et reliquis³², agatur per k circulum contingens pkr, lateribus quadrati circumscripti occurrens apud p, r et similiter in reliquis tribus³³ periferiis bg, gd, da; 24 eritque, per 2^am huius, triangulum por maius quam 1/2 figurae aobk, quae videlicet sub rectis ao, ob et arcu akb comprehenditur, et similiter reliqua triangula apud angulos quadrati oh maiora quam dimidia reliquarum figurarum, non ergo cessabo ab huiusmodi periferiarum bifaria sectione, donec per primam 10ⁱ figurae³⁴ quae a circuli periferiis et lateribus circumscripti polygonii comprehenduntur redigantur ad minus spacium spacio z. Itaque circumscriptum polygonium apkr³⁵ erit minus trigono E.

25 Connectatur ergo centrum n cum uno³⁶ [A:24r] punctorum, in quibus latera polygonii apk contingunt circulum, utpote cum puncto k, eritque, per praecedentem, polygonium apk aequum trigono rectangulo, cuius laterum, quae circa rectum, alterum ipsi nk, reliquum perimetro polygonii apk est aequale; huiusmodi ergo trigonum maius est trigono E, quandoquidem trigoni E laterum quae circum rectum, unum ipsi nk est aequale, reliquum vero perimetro circuli, qui minor est perimetro polygonii apk. 26 Quare polygonium apk maius est trigono E³⁷, fuit autem minus, quod est absurdum.

Non est igitur circulus abg minor trigono E, fuitque³⁸ ostensum quod nec maior; aequalis ergo erit circulus abg trigono E, quod est propositum.

27 Hinc³⁹ manifestum est quod circulus aequalis est rectangulo quod sub semidiametro circuli et linea aequali⁴⁰ dimidio periferiae comprehenditur.

Corollarium⁴¹

Manifestum est ergo quod ex ductu semidiametri in dimidium periferiae producitur area circuli.