XIV.

Federico Commandino a Francesco Maurolico

Ms. Urbino, Bibl. Univ. Comune Busta 28 (120), cc.185r-185v. Minuta mutila, risalente presumibilmente alla prima metà degli anni Cinquanta. Estratti della lettera sono editi in (Clagett 1964, III, pp. 615-617, n.17 ).

[U:185r] 201 parte 49^a propositione primi Conicorum Apollonii, ut te fecisse scribis, videtur enim Apollonius idem illud longe alio tramite venatus, quam quo antiquiores processerunt, quod ex iis, quae hic ab Archimede, illic ab Apollonio tradita sunt, manifeste apparere potest.

Illud autem satis mirari non possum, quod tibi in mentem venit suspicari ab Archimede mathematicorum omnium, qui sunt, qui fuerant, quique futuri sunt, facile Principe, quicquam scriptum esse, quod non sit verissimum. 202 Atque, fortasse inquies, te demonstrationem eius, diu multumque perquisitam nondum invenire potuisse, quid? circuli Quadraturam nemo ex tot peritissimis ad haec usque tempora, perfecte, commodeque invenit, num idcirco inveniri posse negari audebimus? Ego vero quamquam demonstratione nondum comperi, si conoides hyperbolicum plano scindatur aequidistanter axi ducto, sectionem fieri hyperbolen similem ei, quae figuram ipsam describit, tamen cum in hoc authorem habeam Archimedem, dubitare non possum quin ita sit; et in hac sententia tandiu permanebo, quoad mihi contrarium non apparuerit, neque enim verisimile est eum, si modo ab alio sumpserit, indemonstratum sumpsisse, quemadmodum et nos eorum, quae ab Euclide conscripta sunt, nisi ac demonstrata essent, nihil admitteremus. 203 Accedit, quod et ipse Archimedes se demonstrationem eius novisse ad extremum testatus est. ``Horum, inquit, omnium demonstrationes sunt manifestae''. Quod si ea non valeret, qua tu uteris, ego quoque pariter dicam, ut in sphaeroide planum axi aequidistanter ductum ellipsim facit similem ei quae figuram describit (cuius et²⁶ nos demonstrationem, ab Archimede non praetermissam sed consulto relictam²⁷ una cum aliis restituimus) ita et in conoide hyperbolico contingere, ut planum aequidistans axi ductum hyperbolen²⁸ faciat, hyperbolae conoides describenti similem. 204 Sed hae similesque his rationes, [U:185v] cum probabiles tantum sint, a mathematico respiciendae, et oratoribus relinquendae sunt, ut Aristoteles optime praecipit in libro de vita et moribus ad Nicomachum primo, vel igitur illud plane ita esse, vel contra omnino fieri non posse, demonstrandam est, ut tandem quae vere omittam? Quod inveniri posse desperemus. idque Archimedis exemplo, qui cum a Conone, vel ab alio quaedam falso supposita deprehendisset, eorum falsitatem demonstratione ipsa detexit

205 Placuit autem, si non demonstrationem, saltem demonstrationis imaginem quandam afferre, qua fortasse adducti credamus vera esse, quae supposuit Archimedes, ut cum tu, si ad rem facere videntur, perficias, absolvasque, sin melius eriicias, et de tua nos sententia quam celerime certiores facias. Sed praemittenda sunt nonnulla ad eam ipsam necessaria, et primum definitio portionum similium ipsarum coni sectionum. Portiones itaque coni sectionum similes sunt (ut Apollonius definivit in 6^o Conicorum Eutocio referente in Commentariis 2ⁱ libri de aequiponderantibus) in quibus si ducantur aequidistantes basi numero aequales, erunt aequidistantes²⁹, atque bases in eadem ratione, et partes diametrorum ab his aequidistantibus abscissae ad verticem³⁰ itidem in eadem ratione. aequidistantes suam basi numero aequales ducunt (ut opinor) descripta in singulis , hoc est (ut aiunt) perspecte rectilinea figura aequalia numero angulorum. 206 Si etiam ex ita describatur in portionibus parabolae, quae similes sunt, manifestum est ex iis, quae eodem in loco monstravit Eutocius, et bases, et lineas, quae basi aequidistantes ducuntur, eandem habere proportionem, et rursus diametri partes ab his ipsis abscissas inter se eandem servare. Quam obrem recte possumus et similes coni sectionum portiones hoc pacto definire, ut sint, in quibus si ducantur utcunque aequidistantes basi numero aequales quae diametros in partes secent proportionales, et bases, et aequidistantes eandem inter se [U:186r] proportionem obtinebunt. Sint enim parabolae portiones abc, cuius diameter bd et pqr cuius diameter qs, et ducantur in singulis lineae aequidistantes basi, numero aequales, vel inscripta in ipsis perspecte rectilinea figura aequalium numero angulorum, vel aliter utcunque quae diametros secant in partes proportionales. 207 In portione quidem abc el secans diametrum in puncto m fk secans in n, gh in o. In portione autem pqr: tφ secans diametrum in χ,uζ secans in ψ, xy in ω, ut habent db ad bm eandem proportionem quam habet sq ad qχ: et db ad bn habent, quam sq ad qψ, et db ad bo, quam sq ad qω. 208 Dico basim ac ad ipsam aequidistantem el eandem habere proportionem, quam basis pr ad ipsam tφ, et item ac ad fk eandem quam pr ad uζ, et ita in aliis. Quadratum enim ad ad³¹ quadratum em est ut linea db ad lineam bm ex 20^a primi Conicorum Apollonii et quadratum ps ad quadratum tχ ut linea sq ad lineam³² qχ erat autem linea db ad lineam bm, ut linea sq ad lineam qχ. Quare quadratum ad ad³³ quadratum em erit, ut quadratum ps ad quadratum tχ et propterea linea ad ad lineam em, ut linea ps ad lineam tχ, et earum duplae. hoc est linea ac ad lineam el ut linea pr ad lineam tφ. Et eadem ratione erit linea ac ad lineam fk, ut linea pr ad lineam uζ, et demum linea ac ad lineam gh, ut linea pr ad lineam xy, et illud est, quod ostendere volebamus.[U:186v]

209 Sint rursus ellipses similes, abcd, cuius diameter maior bd centrum e, et qrst cuius maior diameter rt, et centrum u, et ducantur minores diametri aec et qus. Erunt iam earum portiones abc qrs sibi ipsis similes. Ducantur in utraque lineae aequidistantes basibus numero aequales, quae diametros in partes proportionales dividant, in portione quidem abc. lineae fnm. gol. hpk in portione autem qrs, lineae χωψ³⁴. yλχ. ζςφ et sit eb ad bn, ut ur ad rω, et eb ad bo ut ur ad rλ et ita eb ad bp, ut rω ad rς. Dico ac ad fm ita esse, ut qs ad xφ, et ac ad gl ut qs ad yχ, et ita in reliquis. 210 Nam quadratum ae ad quadratum fn est ut parallelogrammum bed ad parallelogrammum bnd ex 21^a primi Conicorum, et ex eadem quadratum qu ad quadratum xw, ut parallelogrammum rut ad parallelogrammum rωt. Sed parallelogrammum bed ad parallelogrammum bnd habet proportionem compositam ex proportione be ad bn et ex proportione ed ad nd ex 23^a 6^ti Elementorum. Et eodem modo parallelogrammum rut ad parallelogrammum rωt habet proportionem compositam ex proportione ru ad rω et proportione ut ad ωt proportio autem be ad bn est eadem proportioni ru ad rω ut suppositum est, et proportio od ad nd est eadem proportioni ut ad ωt. 211 Nam quoniam est ut be ad bn, ita ru ad rω erit vicissim, ut be ad ru, ita bn ad rω et ex 19^a Quinti ut bc ad ru ita en ad uω et³⁵ rursus vicissim ut be ad en, hoc est ut do ad en ita ru hoc est tu ad uω, et componendo, convertendoque ut en ad nd ita uω ad ωt. 212 Igitur [U:187r] ex aequali ut dr³⁶ ad nd ita tu ad ωt. Quod cum eadem sint proportiones, ex quibus componuntur, erit parallelogrammum bed ad parallelogrammum bnd ut parallelogrammum rut ad parallelogrammum rωt. Et iccirco quadratum ae ad quadratum fn ut quadratum qu ad quadratum xω et linea ae ad lineam fn ut linea qu ad lineam xω et earum item duplae ac ad fm ut qs ad xφ. Eadem quoque ratione monstrabitur ac ad gl³⁷, ut qs ad yχ et ac ad hk ut qs ad ζφ quod monstrasse oportebat.

213 Eodem modo eveniet et in ipsis hyperbole portionibus similibus. Ex his constare potest parabolae portioni similem esse parabolae portionem, ellipsis portioni ellipsis portione, et hyperboles portioni item hyperboles portionem similem esse. nam similia in mathematicis dicuntur ut inquit Aristoteles in decimo primæ philosophiæ libro si cum non sint eadem simpliciter, nec secundum substantiam subiectam indifferentia, secundum speciem eadem sint quemadmodum maius quadratum minori simile est, et lineae inaequales, hae enim similes quidem, utrum non eadem simpliciter sunt. 214 Praeterea et illud satis constat, portiones coni sectionum similes a similibus sectionibus abscindi, non aliter, quam et similes figurarum portiones a similibus figuris abscinduntur. Quibus quidem ita habentibus ad id, quod propositum est, accedamus. Secetur conoides hyperbolicum plano aequidistanter axi ducto, secetur autem et altero plano ducto per axem, erectoque perpendiculariter ad planum secans, et sit conoidis sectio abc, quae erit ex ro, quod alibi monstravimus, hyperbolae figuram describens, cuius diameter, et axis conoide est ipsa bd plani vero figuram secantis sit recta linea ef. Dico sectionem conoidis factam a plano circa ef esse hyperbolem similem ei, quae figuram describit, et eius diametrum esse lineam ef. Intelligantur quatuorquae³⁸ libet puncta in sectione sumpta g h k et l et ab ipsis demittantur perpendiculares ad ipsam ef [U:187v] quae sint gf hm kn et lo. 215 Erunt hae et perpendiculares super planum in quo est hyperbole abc (quoniam et planum secent perpendiculariter erectum est super idem planum) et inter se aequidistantes ex 6^a undecimi Euclidis. Per punctum autem f ducatur linea secans diametrum ad angulos rectos³⁹ in puncto d et secans hyperbolen in punctis a et c ducatur linea be, producaturque, quousque concurrat cum linea ac et sit punctum concursus p. Item ducantur lineae pm pn po et secet pm hyperbolen in punctis qx et diametrum in y, et pn hyperbolen secet in ru, diametrum in ζ, po autem secet hyperbolen in st, et diametrum in φ, manifestum est lineas bd ef ob similitudinem eorum triangulorum secari in partes invicem proportionales. 216 Secetur rursus conoides plano per axem ducto, et erecto perpendiculariter super alterum secans per axem, cuius recta linea sit bd. Erit et ea sectio hyperbole, quae figuram describit, et eius diameter eadem bd. Deinde a punctis dyζφ attolantur perpendiculares ad planum in quo est abc hyperbole, quae sint dχ yψ ζω φλ. Erunt et hae inter se æquidistantes et in superficie alterius sectionis. sintque puncta χ ψ ω λ in ea sectione sumpta, sit lineas vero ac gf χd extraducatur planum, quod cum sit erectum super lineam bd faciet sectionem circulum, cuius centrum d et per lineas qx hm χy extraducatur aliud planum, faciet id sectionem ellipsim, ut ostenditur in 14^a huius libri, cuius maior diameter est linea qx. 217 Similiter per lineas rμ kn ωζ extraductum planum faciet sectionem ellipsim cuius maior diameter est ru et ita in aliis, Quadratum itaque⁴⁰ χd ad quadratum gf est ut parallelogrammum adc ad paralellogrammum⁴¹ [U:188r] afc ex 21^a primi Conicorum, et ex eadem quadratum ψy ad quadratum hm; ut parallelogrammum qyx ad parallelogrammum qmx sed ut parallelogrammum adc ad parallelogrammum afc ita parallelogrammum qyx ad parallelogrammum qmx: hoc enim ita esse ut detur licet demonstratione comprobatum non fuerit. petenda autem ea est ex elementis conicis nam non solum in hyperbole, sed et in aliis sectionibus, et circulo illud contingit. 218 Verum in parabola, ellipsi et circulo demonstratio facilis est, intercedente conoide parabolico, sphaeroide, et sphaera, et item plano aequidistanter axi ducto, faciente sectiones similes eis, quae figuras describunt, consentaneum tamen est ex principiis quibusdam conicis, in sectionibus, et circulo seorsum a figuris⁴² demonstrari illud posse. Quod cum ita sit, erit ut⁴³ quadratum χd ad quadratum gf ita quadratum ψy ad quadratum hm, et vicissim ut⁴⁴ quadratum χd ad quadratum ψy, ita quadratum gf ad quadratum hm igitur ut linea χd ad lineam ψy ita linea gf ad lineam hm et earum duplae. 219 Eadem ratione monstrabitur, ut linea χd ad lineam ωζ ita esse lineam gf ad lineam kn et ut χd ad λφ ita gf⁴⁵ ad do. Quare sequitur ex diffinitione proxime dicta, similes esse has⁴⁶ coni sectionum portiones. Est autem coni sectio⁴⁷ cuius diameter bd hyperbole, quae figuram describit, hyperbole est igitur sectio, quam facit planum circa ef, et illi similis, cuius diameter ef, quod nos monstrare volebamus. Corollarium, quod 14^ae propositioni additum arbitraris mihi adeo placuit: ut non dubitem ab Archimede ita scriptum fuisse, alioqui mancam quodammodo, atque imperfectam rerum scientiam tradidisse videri possit. 220 De copia librorum, qui a te conscripti sunt tibi merito gratias agere, et habere debent omnes nostrorum temporum mathematici, quibus facilem aditum aperuisti ad explicanda, et intelligenda ea, quae multis obstructa difficultatibus in maxima obscuritate innumerabilibus ante saeculis iacuerunt, quare noli committere, ut tot, tantisque tuis laboribus diutius careamus, cupio enim quamprimum in lucem prodire omnia, praecipue [U:188v] vero Archimedis libros duos, qui impressi non sunt, De isoperimetris figuris, et De speculis comburentibus, praeterea libros a te lucubratos, De aequalibus momentis, De lumine, et umbra, et De Diaphanis. 221 Nam quod temporis de hoc videndi labore mihi datur, libenter in mathematicis conquiesco.⁴⁸ Sed quod ad Archimedis libros attinet duo supersunt, quae me maxime torquent. Unum id, de quo ante ad te scripsi, alterum problema est, non quidem Archimedis, sed quod ipse in aliud quodpiam, ad Archimedis libellum De conoidibus, et sphaeroidibus una cum aliis quibusdam addendum censui, id autem tale est. 222 Datam conoidis portionem plano basi æquidistanti ita secare, ut partes proportionum habentis eandem datæ proportioni, quod quidem quodammodo fieri possit in conoide parabolico explicavi, in hyperbolico vero non item, utque adeo difficilem, morosamque in omnibus mihi se præbuit hæc hyperbole. Id⁴⁹ tu si aliquando resolvendum, componendumque tibi proposuisti, quæso ad me mitte, et tandem omni⁵⁰ molestia libera. 223 Quod scribis cupere te Urbini esse, aut me esse in Sicilia, ut alter alterius inventionibus vicissim perfrui possit, amice quidem facis, quod alieno magis, quam tuo id commodo cupias, nostra⁵¹ enim adeo angusta sunt, ut præter amorem, ac singularem erga te observantiam, vix⁵² aliud quicquam a me possis expectare tuorum vero tantus, tamque immensus est campus, ut in eo cuique longe, lateque pervagari summa cum voluptate⁵³, et utilitate liceat. Sed quoniam eorum alterum, me scilicet in Sicilia esse, vix sperandum est, alterum te Urbini esse, ne vix quidem, da operam, ut Urbini cum sim, tuis tamen possim perfrui inventis, vel ede, vel ad nos mitte, Iulius enim Spartius (quæ sua⁵⁴ est humanitas) mihi curabit describi, si quo dignus a te fuero existimatus quod si unquam assequar, superabo Crassum⁵⁵ divitiis, et omnium vicos, et prata contemnam: