PROPOSITIO XXVIII

229 Si ab initio spirae ad duo peripheriae relicta puncta duae rectae educantur, et super initium ad eductarum intervalla circuli describantur; spatium compraehensum a peripheria maioris circuli et spirae, et a recta, extra producta, eam habet rationem ad spatium compraehensum a peripheria minoris circuli et eiusdem spirae, et a recta earum terminos iungente, quam habet semidiameter circuli minoris, una cum duobus tertiis excessus semidiametrorum ad semidiametrum minoris²⁴, una cum eiusdem excessus tertia parte.

230 Sit linea spiralis quaelibet HABCD, in qua relicta sint duo puncta A, C et ab ini[S:223]tio spirae H educantur rectae HA, HC, ad quarum intervallum super centro H, circuli describantur, et ipsa HA producta occurrat circulo maiori apud G. Spatium sub eductis rectis et peripheria circuli minoris compraehensum, sit N, spatium autem sub eadem peripheria et spirali, et parte diametri circuli maioris compraehensum, sit P, spatium denique sub eadem peripheria spirali et peripheria circuli maioris, rectaque AG compraehensum, sit X. 231 Ostendendum est quod spatium X ad spatium P, est sicut AH una cum duobus tertiis ipsius GA ad GH cum tertia parte GA, hoc modo. 232 Nam, per 26^<am> huius, sector seu frustum GCH ad spatium NP, est sicut quadratum GH ad rectangulum GHA, una cum tertia parte quadrati GA. Igitur, dividendo, spatium X ad spatium NP est sicut rectangulum HAG, cum duobus tertiis quadrati GA, ad rectangulum GHA, cum tertia parte quadrati GA. Quoniam scilicet, sicut spatium X cum NP conflat sectorem GCH, hoc est totum NPX, sic, per 2^<am>25 et 4^<am> secundi Elementorum, rectangulum HAG, cum duobus tertiis quadrati GA, iuncta cum rectangulo GHA, et triente quadrati GA constituunt totum quadratum GH. 233 Et quoniam fuit, invertendo, spatium NP ad totum NPX, sicut rectangulum GHA, cum tertia parte quadrati GA, ad quadratum GH, et NPX ad N, est sicut quadratum GH ad quadratum HA, quandoquidem similes sectores sunt proportionales circulis, et proinde quadratis diametrorum. 234 Propterea, ex aequali proportione, erit spatium NP ad frustum N, sicut rectangulum GHA, cum triente quadrati GA, ad quadratum HA. Sed NP super N excessus est P, et ipsorum spatiorum rectanguli GHA, et tertiae partis quadrati GA excessus supra quadratum HA est rectangulum HAG, cum tertia parte quadrati GA (quandoquidem,per 2^<am> secundi Elementorum²⁶, rectangulum GAH cum quadrato HA aequale est rectangulo GHA). Igitur, eversim, erit spatium NP ad spatium P sicut rectangulum GHA, cum triente quadrati GA, ad rectangulum GAH, cum tertia parte quadrati GA. Erat autem X ad NP sicut rectangulum GAH, cum duobus tertiis quadrati GA, ad rectangulum GHA, cum tertia parte quadrati GA. Ergo ex aequali, erit spatium X ad spatium P, sicut rectangulum HAG, cum triente quadrati GA, ad rectangulum GAH, cum tertia parte quadrati GA. Sed, per 1^<am> sexti Elementorum, rectangulum HAG, cum duobus tertiis quadrati GA, ad rectangulum HAG, cum triente quadrati GA, est sicut linea HA cum duobus tertiis GA ad HA cum triente GA (rectangula enim aeque alta sunt basibus proportionalia 235 ). Igitur, sicut linea HA, cum duobus tertiis GA, ad lineam HA, cum tertia parte GA, sic spatium X ad spatium P, et hoc erat demonstrandum.

COROLLARIUM

236 Manifestum est ergo, quod si lineae GH, HA fuerint longitudine commensurabiles, spatia quoque praedicta N, P, X, erunt inter se commensurabilia, secus autem incommensurabilia.