PROPOSITIO XXV

194 Spatium sub spira secundae revolutionis et recta, quae secunda est in revolutionis initio, compraehensum est ad circulum secundum, sicut septem ad duodecim, hoc est sicut contentum sub semidiametro circuli secundi et semidiametro circuli primi una cum tertia parte quadrati, quod fit ex linea, qua semidiameter secundi circuli excedit semidiametrum primi ad quadratum, quod ex semidiametro circuli secundi.

195 Esto spira secundae revolutionis ABCDE, cuius revolutionis initium H, linea AH revolutionis initium, linea AE secunda in revolutionis initio, circulus AFGI secundus. 196 Ponatur inde circulus S, cuius semidiametri quadratum aequale sit rectangulo AHE una cum tertia parte quadrati AE, quae duo sunt 7/12 quadrati AH. Atque ita quadratum semidiametri circuli S ad quadratum AH, quae semidiameter est circuli AFG se habebit, sicut 7 ad 12. Cumque, per 2^<am> duodecimi Elementorum, ratio circulorum sit sicut quadratorum, quae ex diametris, sive semidiametris, iam circulus S ad circulum AFG, erit sicut 7 ad 12. 197 Demonstrandum est itaque, quod spatium, sub spira ABCDE et sub recta AE compraehensum, aequale est circulo S.

198 Secus enim erit circulus S aut maior, aut minor spirali spatio. Sit, primum, maior sitque circulus S aequalis spirali spatio, una cum R simul sumptis. 199 Et per 22^<am> huius eiusque corollarium circumscribatur spatio spirali figura ex similibus frustis composita, quorum maximum sit AHK, minimum LHO super lineas, per 15^<am> huius, aequaliter sese excedentes, quorum maxima AH, minima HE. Ita ut talis figurae super spiralem spatium excessus, sit minor spatio R. 200 Eritque talis figura minor circulo S. Igitur minor ratio circuli AFG ad circulum S, quam eiusdem circuli AFG ad figuram. Sed per 9^<am> huius eiusque corollarium, frusta uno pauciora dictis lineis singula aequalia frusto maximo AHK, hoc est [S:219] totus circulus AFG, minorem rationem habebit ad frusta similia linearum aequaliter sese excedentium, dempta brevissima, hoc est ad figuram circumscriptam, quam quadratum HA maximae ad haec duo simul, scilicet ad rectangulum AHE longissimae et brevissimae, una cum tertia parte quadrati AE, quae excessus est earumdem, hoc est ratio circuli AFG ad circulum S minor erit quam 7 ad 12, quod est contra hypothesim. 201 Non est igitur maior circulus S spatio spirali. Sit deinde minor circulus S spatio spirali sub spira ABCDE rectaque EA compraehenso. 202 Et tunc circulus S, una cum R, sit aequalis spirali spatio. Deinde, per 22^<am> huius eiusque corollarium, inscribatur spatio spirali figura ex similibus frustis composita, quorum maximum MNH, minimum EHO super lineas, per 15^<am> huius, sese aequaliter excedentes, quarum maxima AH, minima HE. Ita ut excessus, quo figura superatur a spatio spirali, sit minor ipso R spatio. 203 Eritque talis figura maior circulo S, quare maior erit proportio circuli AFG ad circulum S, quam eiusdem circuli AFG ad figuram inscriptam. 204 Sed, per secundam partem nonae huius eiusque corollarium, frusta uno pauciora dictis lineis, singula super lineas aequales maximae AH, hoc est totus circulus AFG, maiorem rationem habebit ad frusta similia linearum sese excedentium, dempta longissima, hoc est ad ipsam figuram inscriptam quae ex talibus frustis constat quam quadratum HA longissimae ad haec duo simul, scilicet ad rectangulum AHE sub longissima, brevissimaque contentum, una cum tertia parte quadrati AE. Differentiae scilicet earumdem, hoc est, ut brevius dicam, proportio circuli totius AFG ad figuram inscriptam, maior erit quam 12 ad 7. 205 Igitur, a fortiori, ratio circuli AFG ad circulum S, maior erit quam 12 a 7. Quod rursus adversatur hypothesi, non est igitur minor circulus S spirali spatio ABCDE, sub spira scilicet et AE recta compraehenso, sed nec maior fuit. Aequalis igitur erit, sicut proponitur demonstrandum.

206 Eodem autem modo ostendetur, quod spatium sub spira quotaecumque revolutionis, rectaque eiusdem ordinis compraehensum, ad circulum ab eodem numero denominatum, eam habere rationem quam duo haec simul, scilicet contentum sub semidiametro circuli a numero revolutionum denominati et sub semidiametro circuli dicti a numero unitate minori, revolutionis scilicet immediate praecedentis, et tertia pars quadrati, quod fit a linea aequali excessui dictarum semidiametrorum ad quadratum semidiametri maioris ex praedictis.