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Iterazioni di Graeffe
Se si prende un polinomio p(x) allora il polinomio q(x)=p(x)*p(-x) può essere visto come un
polinomio in x^2.
Graeffe ha usato questa proprietà per costruire un metodo per trovare le radici di polinomi.
Si vede per esempio la pagina di Mathworks sul metodo di Graeffe (che
tra l'altro cita un lavoro del nostro collega D. Bini - ma comunque anche altri nostri colleghi hanno lavori sull'argomento !) oppure la pagina di Wikipedia sul metodo di Graeffe
Quello che si fa è ripetere piu' volte questo processo, fabbricandosi polinomi che abbiano come radici ogni volta i quadrati delle
radici del precedente polinomio.
Per capire come il metodo possa essere implementato, provare a scrivere una routine che a partire da un polinomio p, costruisca un polinomio q
che ha come radici i quadrati delle radici di p, usando il metodo di Graeffe.
Ovviamente elevando ogni volta al quadrato le radici tendono a zero o all'infinito. Ad un certo punto si nota che i rapporti tra
i successivi coefficienti del polinomio approssimano le radici elevate alla opportuna potenza di due. Il metodo comunque è
numericamente condannato ad esplodere, ma può essere comunque utilizzato per estrarre delle informazioni sulle radici.
Cosa succede per esempio se ad ogni passo si rinormalizza il polinomio dividendo per il coefficiente della potenza di grado massimo ?
E se invce si rinormalizza dividendo per il coefficiente di massimo valore assoluto ?
( qui c'è una prova )
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