165 LEMMA

Si a puncto in diametro circuli signato ducatur ad periferiam recta linea aequalis utrilibet portionum diametri, punctum signatum erit centrum circuli.

166 Esto circulus abc supra diametrum⁵ adc ponaturque ut a puncto quodam diametri d recta db ad periferiam ducta aequalis sit ipsi dc: aio quod d centrum est circuli abc. 167 Coniungam enim rectas ab bc: angulus abc rectus erit et anguli bac bca simul sumpti uni recto aequales. 168 Auferantur utrinque anguli dbc dcb aequales, oppositi videlicet lateribus db dc per hypothesim aequalibus et super[er]erunt anguli bad abd aequales. Quare et latera illis opposita ad db aequalia. 169 Fuit autem db aequalis ipsi dc. Igitur et dc aequalis ipsi ad. Diameter vero est ac: ergo d centrum . Quod est propositum.

170 Quo praemisso, demonstrabimus hanc 24 sic: producatur recta de usque ad superficiem sphaerae sitque def . Quae per 12 et 13 huius, ibit per e centrum circuli abc et per centrum sphaerae et per reliquum polum f. 171 Ducam itaque planum per lineam rectam def sitque ducti plani cum sphaera communis se[n]ctio circulus daf per primam huius, qui per 6 erit circulus maior. 172 Cuius cum circulo proposito abc communis sectio sit recta ae quae semidiameter erit circuli abc propositi. 173 Cum igitur in circulo daf, cuius diameter df, linea ea a puncto e diametri ad periferiam ducta aequalis sit lineae ed, quae est una portionum diametri df. 174 Iam per praemissum lemma, punctum e centrum erit circuli daf et perinde centrum sphaerae et ideo per 6 abc circulus maior est, quod fuit demonstrandum.

175 Item potes idem sic ostendere: quoniam de perpendicularis est ad circulum abc, ideo angulus aed rectus; quare per 8 sexti Euclidis sicut de ad ipsam ea sic ea ad ipsam ef; sed de aequalis ipsi ea per hypothesim; ergo ea aequalis ipsi ef; itaque punctum e centrum erit circuli daf et ideo centrum sphaerae, quod est propositum.

PROPOSITIO XXV

176 Omnis recta linea, quae a polo alicuius maioris circuli in sphaera signati ad ipsius periferiam protrahitur, est aequalis lateri quadrati in eodem circulo d[a]esignati .

177 Sit in sphaera circulus abc maior, a cuius polo d ducatur ad eius periferiam da recta: aio quod da est latus quadrati circulo abc inscripti. 178 Nam, cum abc sit circulus maior, erit per 7 huius et per corollarium primae eius centrum e centrum sphaerae. 179 Coniu<n>gam ergo rectas ed ea quae aequales erunt per diffinitionem sphaerae et, quoniam <per> 11 huius de perpendicularis est ad circulum abc, idcirco angulus aed rectus erit. 180 Igitur per penultimam primi Euclidis, quadratum ad lineae⁶ duplum erit quadrati ae lineae. 181 Sed per eandem quadratum inscriptum circulo abc duplum est ad quadratum ae semidiametri. 182 Ergo linea da est latus quadrati circulo abc inscripti, quod est propositum.

183 Vel sic: producatur planum trianguli aed sitque communis eius cum sphaera sectio circulus adc per primam huius, qui per 6 erit circulus maior eiusque centrum e per corollarium primae, cumque angulus aed sit rectus, erit per 6 quarti Euclidis linea ad latus quadrati circulo adc et ideo ipsi circulo abc inscripti, quod quidem fuit demonstrandum.