PROPOSITIO XII

103 Omnem perpendicularem ab alterutro duorum polorum alicuius circuli in sphaera signati ad ipsius superficiem ductam in centrum eius cadere necesse est eamque, si in continuum et directum protrahatur, reliquo polo eiusdem circuli obviare necesse est.

104 In eadem figuratione ab altero polorum circuli bed, utpote a polo a, ducatur ag perpendicularis ad planum circuli bed: aio quod g punctum, in quod cadit perpendicularis, centrum est bed circuli. 105 Nam ductis per g lineis rectis bgd egf et hypothemisis ab ad ae af, erunt iam ipsa triangula agb agd age agf rectos angulos habentia apud g, latus autem ag commune et hypothemisas praedictas aequales. 106 Ablato ergo quadrato ag a quadratis hypothemisarum aequalibus, per diffinitionem poli supererunt quadrata gb gd ge gf linearum aequalia. 107 Quare lineae ipsae gb gd ge gf aequales erunt et idcirco, per 9 tertii Euclidis, g centrum erit circuli bed. 108 Constat itaque prima propositionis pars. 109 Continuetur in rectum ag donec obviet superficiei sphaericae in punctum c: aio quod punctum c est reliquus polus circuli bed. Nam hoc iam ostensum est in antepraemissa 10. 110 Quodquod supererat demonstrandum.